Warum ist die Induktivität (L) proportional zum Windungsquadrat (N²)?

Wir gehen von der Maxwellschen Gleichung aus

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Wir nehmen die Flächenintegration beider Seiten für die Fläche ( $s$ ) innerhalb des mittleren Pfades ( ) des Kerns.$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Wir verwenden den Strichsatz , um die linke Seite neu zu schreiben. wo $c$ mit dem magnetischen Fluss in der gleichen Richtung ist .$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(Das Integral auf der linken Seite ergibt , weil sich N verschiedene Drähte auf der Wicklung befinden.)$NI$$N$

Die Magnetfelddichte innerhalb dieser Art von Kernen wird als einheitlich angesehen. Also können wir schreiben

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

Dabei ist die mittlere Weglänge des Kerns.$\ell_c$

Wir können den magnetischen Fluss aus der magnetischen Flussdichte ermitteln, die wir unter Verwendung der Querschnittsfläche des Kerns .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Die Induktivität ist definitionsgemäß die Menge des Magnetflusses, der pro angelegtem Strom erzeugt wird, d. H

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Wir finden also die Induktivität des Systems als

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Alle anderen Quellen ( Beispiel ) geben die Induktivität eines Induktors wie folgt an

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Was ist der Fehler, den ich bei meiner Ableitung gemacht habe? Bitte erläutern Sie im Detail.

Sie berechnen den Kernfluss mit der obigen Gleichung, und die Induktivität berechnet die Summe aller Flüsse pro Umdrehung. Der Fluss durch jede Windung ist derselbe und entspricht dem Kernfluss. Der Kernfluss ist proportional zu N und die Flusssumme pro Windung ist proportional zu .$N^2$

Eine andere Art, diese Abhängigkeit auszudrücken, ist zu sagen: wegen der magnetischen Kopplung zwischen Windungen.

Stellen Sie sich einen Induktor mit einer Windung (links unten) vor, der in zwei parallele Drähte aufgeteilt ist, die sehr eng gewickelt sind, sodass sie praktisch den gleichen Raum einnehmen (rechts unten).

Die zwei parallelen Drähte nehmen für eine gegebene angelegte Spannung jeweils die Hälfte des Stroms der Induktivität mit einer Windung auf und nehmen zusammen den gleichen Strom wie die einzelne Windung auf:

Aus diesem Grund MUSS jedes einzelne parallele Kabel die doppelte Impedanz des einzelnen Kabels haben und zusammen, wenn es parallel verdrahtet wird, die gleiche Impedanz wie das einzelne Kabel aufweisen. Okay so weit?

Ordnen Sie nun diese beiden Drähte (vor Ihren Augen) so an, dass sie in Reihe zueinander liegen. Die Impedanz ändert sich auf das Vierfache der Impedanz:

Dies bedeutet, dass sich die Induktivität für eine Verdoppelung der Windungen vervierfacht hat und es trivial ist, dieses Beispiel auf n Windungen zu erweitern.

Was ist der Fehler, den ich bei meiner Ableitung gemacht habe? Bitte erläutern Sie im Detail.

Die Induktivität ist

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$