Fourier gegen Laplace

Angenommen, ich habe ein RLC-Netzwerk in einer Black Box und ich habe es im Labor schwer, die Impulsantwort zu erhalten. Ich habe jetzt zwei Möglichkeiten: Ich kann die Fourier-Transformation oder die Laplace-Transformation verwenden, um den Frequenzgang zu erhalten. Woher weiß ich, welches ich wählen soll und was ist der physische Unterschied zwischen jedem?

Mir wurde gesagt, dass die Laplace-Transformation auch das Einschwingverhalten oder den Abfall liefert, während die Fourier-Transformation dies nicht tut. Ist das wahr? Wenn ich plötzlich ein sinusförmiges Signal an den Eingang anlege, sollte es für einen kurzen Zeitraum ein Einschwingverhalten geben, bei dem der Ausgang kein sinusförmiges Signal ist, bis sich das System beruhigt. Kann mir jemand ein praktisches Beispiel für ein RLC-Netzwerk geben, um zu zeigen, wie das stimmt?

Außerdem nehmen wir in der Schaltungsklasse häufig die Laplace-Transformation einer Schaltung, bei der der Realteil von $s = \sigma + j\omega$ ohnehin als Null angenommen wird. Wenn wir also , um die Laplace-Transformation zu bezeichnen des Kondensators wird angenommen, dass dies . Ich glaube, der Realteil ist Null, da der Strom durch den Kondensator mit der Spannung über 90 Grad phasenverschoben ist - ist das richtig? Ich dachte, die Fourier-Transformation sei dieselbe wie die Laplace-Transformation mit . Dies scheint jedoch nicht wahr zu sein - betrachten Sie :$\frac{1}{Cs}$ σ=0x(t)=u(t$\frac{1}{j\omega C}$$\sigma = 0$$x(t) = u(t)$

Wir können sehen, dass selbst wenn ich ohne Realteil am Ausgang der Laplace-Transformation ersetze, sie immer noch nicht gleich sind. Wie kommt es, dass die Fourier-Transformation eine zusätzliche Impulskomponente hat, Laplace jedoch nicht? Wann kann ich ersetzen und erwarten, dass die Fourier-Transformation der Laplace-Transformation entspricht?s = j $s = j \omega$$s = j\omega$

Bearbeiten: Der letzte Teil meiner Frage hat hier und hier Antworten .

Die Fourier- und die Laplace-Transformation sind nicht gleich. Beachten Sie zunächst, dass wir, wenn wir über die Laplace-Transformation sprechen, sehr oft die einseitige Laplace-Transformation meinen, bei der die Transformationsintegrale bei (und nicht bei ) beginnen, dh bei der Laplace-Transformation, die wir normalerweise verwenden kausale Signale und Systeme analysieren. Bei der Fourier-Transformation ist dies nicht immer der Fall.$t=0$$t=-\infty$

Um die Unterschiede zwischen den beiden zu verstehen, ist es wichtig, den Konvergenzbereich (ROC) der Laplace-Transformation zu betrachten. Für kausale Signale ist der ROC immer eine Ebene der rechten Hälfte, dh es gibt keine Pole (einer rationalen Funktion in ) rechts von einem Wert (wobei den Realteil der komplexen Variablen ). Wenn nun , dh wenn sich die Achse innerhalb des ROC befindet, erhalten Sie einfach die Fourier-Transformation, indem Sie . Wenn ist, existiert die Fourier-Transformation nicht (weil das entsprechende System instabil ist). Der dritte Fall ($s$$\sigma_0$$\sigma$$s$$\sigma_0<0$$j\omega$$s=j\omega$$\sigma_0>0$$\sigma_0=0$) ist interessant, weil hier die Fourier-Transformation existiert, aber sie kann nicht aus der Laplace-Transformation erhalten werden, indem . Ihr Beispiel ist von diesem Typ. Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion hat einen Pol bei , der auf der Achse liegt. In all diesen Fällen hat die Fourier-Transformation zusätzliche Impulse an den Polstellen auf der Achse.$s=j\omega$$s=0$$j\omega$$\delta$$j\omega$

Beachten Sie, dass es nicht stimmt, dass die Fourier-Transformation keine Transienten verarbeiten kann. Dies ist nur ein Missverständnis, das wahrscheinlich darauf zurückzuführen ist, dass wir häufig die Fourier-Transformation verwenden, um das stationäre Verhalten von Systemen zu analysieren, indem wir sinusförmige Eingangssignale anwenden, die für . Bitte beachten Sie auch diese Antwort auf eine ähnliche Frage.$-\infty<t<\infty$

Ok, Sie schlagen eine Black Box aus RLC-Komponenten und messen die Antwort - die Impulsantwort. Jetzt möchten Sie den Frequenzgang kennen, dh den Frequenzgang auf einen Sinus.

Erstens können Sie Ihr System nicht wirklich mit einem reinen Sinus erregen. Es ist zu spät, du hättest beim Urknall anfangen sollen. Das Beste, was Sie tun können, ist die Verwendung eines kausalen Sinus mit zusätzlichen Frequenzkomponenten.

Angenommen, Sie möchten wissen, wie das System auf eine beliebige Eingabe im Zeitbereich reagiert. Sie brauchen Fourier oder Laplace nicht wirklich, um das zu wissen. Eine Faltung reicht aus.

Was hast du wirklich in der Hand? Sie haben die Impulsantwort gemessen. Irgendwie haben Sie es geplant, sagen wir kontinuierlich, im Gegensatz zu einem ADC, der das Signal abgetastet hat - was normalerweise der Fall ist, und Sie würden stattdessen nach der Z-Transformation gegen FFT fragen. Nehmen wir auch an, dass der Knall, den Sie ihm gegeben haben, ein gutes Delta war: stark, aber kurz.

Da Ihr System RLC ist, ist es linear, sodass Überlagerungsprinzipien funktionieren (darüber würden wir sonst sowieso nicht sprechen). Jeder Eingang kann durch Hinzufügen von zeitlich versetzten gedämpften Impulsen konstruiert werden (irgendwie - es ist eine Grenzsache). Die Gesamtantwort addiert also nur all diese einzelnen Antworten. Diese Addition ist genau das, was der Faltungseingang (t) * impulseResponse (t) tut. Sie können das RLC-System als "Hardware-Konvoluter" betrachten. Dies ist wahrscheinlich die genaueste Methode, um eine Antwort auf eine beliebige Eingabe vorherzusagen.

Jetzt möchte ich etwas klarstellen, wie Laplace sich auf Fourier bezieht. Unsere Domäne sind kausale Funktionen, da es sonst keinen Sinn macht, den einseitigen Laplace mit Fourier zu vergleichen. Außerdem sind alle realen Signale kausal. Mathematisch gesehen ist die Laplace-Transformation nur die Fourier-Transformation der Funktion, die mit einem abklingenden Exponential vormultipliziert ist. So einfach ist das. Wenn also eine Fourier-Transformation nicht existiert, weil die Integrale unendlich sind, kann Laplace immer noch existieren, wenn das abklingende Exponential stark genug ist, weil das Intergral der 'abgeschwächten' Funktion konvergieren würde. Aus mathematischer Sicht kann dies in bestimmten Fällen äußerst nützlich sein.

Aber was Sie wirklich wollen, ist, ein Steuerungssystem für Ihre Anlage zu erstellen. In diesem Fall überprüfen Sie die Antwort und approximieren sie mit einem Modell 1. oder 2. Ordnung plus Gruppenverzögerung. Es wird also nicht genau sein, aber auf diese Weise lassen Sie alle kleinen Details der tatsächlichen Reaktion hinter sich und erhalten den enormen Vorteil, dieses Modell auf Steuerungsgleichungen und -algorithmen und Dutzende von Büchern mit steuerungstheoretischem Wissen anwenden zu können und entwerfen und simulieren Sie Ihr Steuerungssystem. In diesem Fall würden Sie ein Laplace-Modell verwenden, da Sie sofort Pole und Nullen erhalten, die für die Stabilitätsanalyse verwendet werden können.