Warum konnte die Karush-Kuhn-Tucker-Optimierung die Lösung nicht finden?

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Ich habe das folgende Utility-Maximierungsproblem: Bedingungen:

max (x y)

$\max (xy)$

(x + y - 2)^{2} \leq 0

$(x+y-2)^2 \leq 0$

y - 2 λ (x + y - 2) = 0

$y-2\lambda (x+y-2) =0$

x - 2 λ (x + y - 2) = 0

$x-2\lambda (x+y-2) =0$

λ (x + y - 2)^{2} = 0

$\lambda(x+y-2)^2=0$

Wenn ich setze , erhalte ich: $\lambda>0$

(x + y - 2)^{2} = 0 \Rightarrow (x + y - 2) = 0

$(x+y-2)^2=0 \Rightarrow (x+y-2) = 0$

y - 2 λ (x + y - 2) = y = 0

$y-2\lambda (x+y-2) = y = 0$

x - 2 λ (x + y - 2) = x = 0

$x-2\lambda (x+y-2) = x = 0$

Die naheliegende Lösung ist jedoch . $x=y=1$

Wenn ich setze

λ = 0

$\lambda=0$ , ist dies auch bei einer gültigen Lösung kein Fall. Ist die Einschränkung zu niedrig? Was ist die Erklärung dafür?

Ich würde mich sehr über Ihre Hilfe freuen.

utility optimization

— Übel Yildmar
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Ich habe versucht, die Gleichungen ein wenig zu vereinfachen. Wenn Sie nicht einverstanden sind, können Sie meine Bearbeitung zurücksetzen.

— Giskard

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Wie @ user32416 hervorhob, reichen die Stationaritätsbedingungen erster Ordnung nicht aus. Insbesondere scheint es, dass Sie gegen Slaters Bedingung verstoßen , wonach "die realisierbare Region einen inneren Punkt haben muss". Es gibt kein für das $x,y$

(x + y - 2)^{2} < 0.

$(x+y-2)^2 < 0.$

Wenn Sie das Problem mit umformulieren, ist Slaters Bedingung erfüllt (für lineare Bedingungen sind keine inneren Punkte erforderlich) und Sie können Karush-Kuhn-Tucker anwenden.

max (x y)

$\max (xy)$

x + y - 2 = 0

$x+y-2 = 0$

x, y \geq 0

$x,y \geq 0$

— Giskard
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Dies ist eine schlecht gestellte Frage. Auch ohne KKT zu durchlaufen, bedeutet Ihre Einschränkung , da die linke Seite ein Quadrat ist, dass die einzige Lösung, die machbar ist, die ist, bei der die Gleichheit bindet; dh oder das - wovon du sagst, dass eine Lösung ist. $(x + y - 2)^2 \le 0$ $(x + y - 2)^2 = 0$ $|x + y - 2| = 0$ $x = y = 1$

— user32416
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Ja, aber können Sie KKT auf dieses umformulierte Problem anwenden?

— Giskard

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Sie geben hier nur die Stationaritätsbedingungen erster Ordnung an. Aber Sie ignorieren völlig die komplementären Bedingungen der Schlaffheit und der Machbarkeit. Somit ist das, was Sie dort geschrieben haben, nicht einmal die vollständige KKT-Formulierung.

— user32416

1

Vielen Dank für Ihre konstruktive Kritik und Hilfe! Mein Professor sagte, dass dieses Problem nicht gut definiert sei, weil er die Wichtigkeit von Slaters Zustand darstellen wollte.

— Übel Yildmar

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Wie bereits erwähnt, ist die Bedingung so, dass sie sich selbst in eine Gleichheitsbedingung verwandelt . Dein Problem wird dann vereinfacht

max_{x, y} (x y) s . t . x + y - 2 = 0

$\max_{x,y} (xy) \;\;\; s.t.\;\; x+y-2=0$

Ordnen Sie die Einschränkung neu an und ersetzen Sie , um das Problem mit der einzelnen Variablen ohne Einschränkung zu erhalten $y$

max_{x} (2 x - x^{2})

$\max_{x} (2x-x^2)$

Dies liefert sofort die Lösung und damit auch . $x=1$ $y=1$

Die Verwendung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen für das ursprüngliche Problem kann eine gute Übung sein, um sich selbst davon zu überzeugen, dass die komplementäre Lockerheitsbedingung auch gelten muss (und "Slaters Zustand" eine der Formulierungen davon ist), aber Occams Rasiermesser würde dies tun erfordern, dass das Problem tatsächlich wie oben gelöst werden soll.

— Alecos Papadopoulos
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