Take-it-or-Leave-it PBE

Ich habe eine interessante Frage zum perfekten Bayes'schen Gleichgewicht gefunden. Ich habe keine Frage gesehen, bei der Überzeugungen nicht diskret sind.

Es gibt einen einzelnen potenziellen Käufer eines Objekts, das für den Verkäufer keinen Wert hat. Die Bewertung dieses Käufers v wird gleichmäßig auf [0, 1] verteilt und ist eine private Information. Der Verkäufer nennt einen Preis $p_1$ den der Käufer akzeptiert oder ablehnt.

Wenn er akzeptiert, wird das Objekt zum vereinbarten Preis gehandelt und die Auszahlung des Käufers beträgt $v − p_1$ und die des Verkäufers $p_1$ .

Wenn er ablehnt, macht der Verkäufer ein anderes Preisangebot, p2. Wenn der Käufer dies akzeptiert, beträgt seine Auszahlung $\delta_(v − p_2)$ und die des Verkäufers $\delta p_2$ , wobei $\delta = 0.5$ .

Wenn er ablehnt, erhalten beide Spieler Null (es gibt keine weiteren Angebote).

Finden Sie ein perfektes Bayes'sches Gleichgewicht.

Mein üblicher Ansatz ist es, Überzeugungen zu fixieren, aber ich weiß nicht genau, wie ich dies mit kontinuierlichen Überzeugungen tun soll. Irgendein Rat?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
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Entschuldigung, ich konnte mir keine einfache Möglichkeit vorstellen, teilweise Ratschläge zu geben. Dies ist eine schöne Übung. Würde es Ihnen (oder dem Schöpfer) etwas ausmachen, wenn ich es im Unterricht verwenden würde?

— Giskard

Natürlich fühlen Sie sich frei!

— Brian

Nachdem ich gestern eine schlechte Lösung veröffentlicht habe, glaube ich, dass ich eine bessere bekommen habe:

Die Strategie des Käufers besteht aus zwei Funktionen wobei beide Funktionen (wobei für Akzeptieren, für ablehnen). Die Strategie des Verkäufers ist $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ $\left\{A,R\right\}$ $A$ $R$ $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ $f_2(v,p_1,p_2)$ $A$ $v \geq p_2$ $H$ $p_1$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$ Die linke Seite dieser Gleichung nimmt in , sodass Typen mit hoher Bewertung akzeptieren. Dies bedeutet, dass in PBE die Menge ist, dass Daraus erhalten wir das optimale bei : In PBE ist eine Funktion von : also Wir haben aber alle PBE-Strategien festgelegt

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$ . Die erwartete Auszahlung des Verkäufers beträgt wobei Wenn wir dies einsetzen, erhalten wir

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Sie müssen diesen Wert maximieren . Mit ich $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
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Ich bin der Meinung, dass diese Frage auch als ein Unternehmen interpretiert werden kann, das versucht, Verbraucher mit unterschiedlichen Bewertungen zu überprüfen, die als geschlossenes Einheitsintervall dargestellt werden. Das optimale Preisschema besteht darin, zwei Preise festzulegen, damit Kunden mit hohen Bewertungen in der ersten Stufe zu einem höheren Preis und einige Kunden mit niedrigen Bewertungen in der zweiten Stufe zu einem niedrigeren Preis zahlen.

— Metta World Peace

Sie müssen erklären, warum die Dienstprogramme in Runde 2 unterschiedlich sind. Für den Verkäufer könnte es eine einfache Diskontierung sein, aber für den Käufer? Wenn die Ware haltbar wäre, würden Typen, die die Ware kaufen, in beiden Runden einige Vorteile erhalten.

— Giskard

Ich folge nicht ganz. Warum können die Käufer den in der zweiten Runde abgeleiteten Nutzen nicht rabattieren? Dies kann als zweimonatiges Preisskimming interpretiert werden, oder?

— Metta World Peace

Peinlich, aber ich habe bis jetzt noch nie von diesem Modell gehört. Sie haben Recht, dies beschreibt das obige Spiel gut.

— Giskard

Sie sagten, dass der Käufer genau dann akzeptiert, wenn aber der Käufer nicht ablehnt, wenn sowohl als auch größer als , unabhängig davon, ob die obige Ungleichung erfüllt ist?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Franklin Pezzuti Dyer