Verwendung von Mathematik und ungenaue Definition von Begriffen

Als Doktorandin der Wirtschaftswissenschaften habe ich versucht, mein mathematisches "Toolset" zu erweitern. Dabei habe ich mit Ingenieuren, Physikern und Mathematikern gesprochen, von denen viele den Einsatz von Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft verachtet haben. Ihre Argumente variieren, aber ein gemeinsames Thema wird von der Kritik des Mathematikers Michael Edesess zusammengefasst :

Wirtschaft gibt vor, Mathematik zu sein, aber es ist keine Mathematik. Es gibt einen großen Unterschied. Kein Mathematiker verwendet einen Term in einer Formel oder eine Aussage eines Theorems, es sei denn, dieser Term wurde zuvor mit grässlicher Präzision definiert.

Und während Ökonomen denken, sie hätten Begriffe wie "Gesamtnachfrage" oder "Wirtschaftswachstum" definiert, sollten sie versuchen, echte Mathematik zu lesen, um zu sehen, was eine genaue Definition wirklich ist. Ich denke, die Ökonomen lassen die Definitionsarbeit von der Art und Weise ableiten, in der die Begriffe in den Formeln verwendet werden.

Ich glaube, ich kenne die genaue Definition von (ziemlich vielen) wirtschaftlichen Begriffen, aber vielleicht weist Edesess auf einige tiefere mathematische Grundlagen hin, die mir vielleicht nicht vertraut sind. Könnte jemand seine Argumentation erweitern und vielleicht sogar widersprechen?

Edesess greift an, was eigentlich nur ein Strohmann der Wirtschaft ist. Ich bin mir nicht sicher, ob er das Feld wirklich versteht. Zu Beginn ist Wirtschaft keine Mathematik. Wir behaupten nicht, dass es ist. Es ist eher eine "angewandte" Wissenschaft. Ökonomen haben nie behauptet, dass diese Definitionen so präzise sind wie die Mathematik. Diese Definitionen sind Modellierungskonstrukte - sie sind für die angewandte Arbeit. Sie sind in gewisser Weise vorübergehend. Der Punkt ist, zu versuchen, eine Idee präziser zu vermitteln als nur in Worten - aber jeder weiß, dass sie nicht so präzise sind, wie wir es uns wünschen und nicht so präzise, ​​wie sie letztendlich sein sollten. Sie sollen diskutiert und später verfeinert werden. Aber wie alle angewandten Wissenschaftler wissen, muss man irgendwo anfangen und manchmal lassen sich Ideen am besten durch einfachere, wenn auch weniger detaillierte Mittelwerte vermitteln.

Bessere Definitionen zu finden, ist ein großer Teil der Wirtschaftswissenschaft. Betrachten Sie diese Beispiele. Als die Cowles Foundation 1932 gegründet wurde, lautete ihr Motto "Theorie und Messung" ( das Motto wurde erstmals 1952 übernommen ). Messen ist nicht einfach. Ein weiteres Beispiel ist Larry Kotlikoffs Arbeit, die sich mit der Frage befasste, dass viele fiskalische Maßnahmen keine wirtschaftlich gut definierten Konzepte sind.

Einstein lehrte uns, dass weder Zeit noch Distanz genau definierte physikalische Konzepte sind. Stattdessen ist ihre Messung relativ zu unserem Bezugsrahmen - wie schnell wir im Universum unterwegs waren und in welche Richtung. Unser physischer Bezugsrahmen kann als unsere Sprache oder Kennzeichnungskonvention angesehen werden. ... Kotlikoff lieferte zusammen mit Jerry Green von Harvard einen allgemeinen Beweis für die Behauptung, dass Defizite und eine Reihe anderer konventioneller finanzpolitischer Maßnahmen wirtschaftlich inhaltsfrei sind, und kam zu dem Schluss, dass das Defizit einfach eine willkürliche Erfindung der Sprache in allen ist Wirtschaftsmodelle mit rationalen Akteuren.

Nehmen Sie auch ein anderes Beispiel von aktuellem Interesse. Lars Hansens jüngste Arbeit (Gewinner des Wirtschaftsnobelpreises 2013) konzentrierte sich auf die Schwierigkeit und das anhaltende Versagen, bestimmte wirtschaftliche Konzepte zu definieren, einschließlich "Blasen" und Systemrisiken. Siehe seinen Aufsatz "Herausforderungen bei der Identifizierung und Messung des Systemrisikos" . Ich bin ein Fan des Diktums, das er Lord Kelvin zuschreibt.

Ich sage oft, wenn man etwas messen kann, über das man spricht, es in Zahlen ausdrücken kann, dann weiß man etwas darüber. aber wenn Sie es nicht messen können, wenn Sie es nicht in Zahlen ausdrücken können, ist Ihr Wissen von der mageren und unbefriedigenden Art: Es mag der Beginn des Wissens sein, aber Sie haben in Ihren Gedanken kaum Fortschritte auf der Stufe der Wissenschaft gemacht, was auch immer Materie könnte sein.

Er merkt an, dass "eine Kurzfassung im Gebäude für sozialwissenschaftliche Forschung an der Universität von Chicago erscheint". Also, ja, Ökonomen (als Sozialwissenschaftler) nehmen das definitiv ernst.

Der Punkt ist also, dass sich die Ökonomen der Probleme in diesen "Definitionen" bewusst sind. Sie sind Teil der laufenden Forschung auf diesem Gebiet. Manchmal werden sie ignoriert, wenn die Leute nicht glauben, dass sie für das Problem die erste Wahl sind. etc...

Wirtschaft gibt vor, Mathematik zu sein, aber es ist keine Mathematik.

Gott bewahre, wenn du meine Sprache entschuldigst. Wie in vielen anderen wissenschaftlichen Disziplinen wird Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft verwendet , aber es ist mit Sicherheit keine Mathematik, und es kann niemals Mathematik werden.

Die Mathematik kann sich von der realen Welt inspirieren lassen, definiert und arbeitet dann aber mit ihren Konzepten, unabhängig davon, ob sie mit der Quelle der Inspiration verbunden bleiben.
Auf der anderen Seite muss die Wirtschaft ihre Konzepte so definieren, dass ein gewisses Maß an Relevanz für die realistischen Aspekte, die sie zu untersuchen versucht, erhalten bleibt . Und da die "reale Welt", die die Wirtschaft beschäftigt, die soziale Welt ist, voller Unsicherheiten und Gesetze, die noch niemand entdeckt hat, kann die Wirtschaft niemals "unerträgliche Präzision" erreichen und relevant bleiben . Na und? Wirtschaft ist keine Mathematik, das haben wir schon gesagt. Wirtschaft ist schwierigerals die Mathematik, gerade weil sie sich eine solche Präzision nicht auferlegen und nützlich bleiben kann. Aber sie hält sich an die wissenschaftliche Methode und versucht, anstatt sich auf verbale Argumente zu beschränken, diese zu "mathematisieren" (dh symbolische Sprache zu verwenden), damit sie transparenter und fokussierter in Bezug auf ihre Schlussfolgerungen und ihre interne Konsistenz sind .

Es wäre so viel einfacher, verbale Abhandlungen zu erstellen, dass zuerst eine Runde der Semantikanalyse erforderlich wäre und dann, falls diese Runde irgendwann endet, das Argument per se zu diskutieren . Aber sobald wir es in symbolischer Sprache formuliert haben, räumen wir den Nebel auf und lassen unsere Räumlichkeiten (und damit unsere Grenzen und Unvollkommenheiten ) für alle Interessierten erstrahlen. Das nenne ich wissenschaftliche Integrität in den Sozialwissenschaften, und deshalb betrachte ich die Wirtschaft als Avantgarde der Sozialwissenschaften.

Definitionen in der Mathematik

Das Gebiet der Mathematik ist viel mehr als nur die Anwendungen. Tatsächlich sind die Anwendungen ein Ergebnis der tatsächlichen Mathematik, die in Form von Beweisen und Theoremen vorliegt. Zum Beispiel mussten Mathematiker in der Ringtheorie beweisen, dass a * 0 = 0für alle Werte von a. Unten ist der Beweis: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Die Anwendungen davon kommen vielen Menschen zugute, wenn sie es gewohnt sind, zu zeigen 5 * 0 = 0, aber dies ist lediglich das Ergebnis eines umfassenderen Ergebnisses, das bewiesen wurde.

Wie sind diese Beweise aufgebaut? Durch Definitionen. Um das obige Ergebnis zu beweisen, konnten wir das nicht annehmen a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; Stattdessen mussten wir die Definition eines "Rings" verwenden, der per Definition Zeile (1) zulässt. Ebenso mussten wir die Definition eines "Rings" verwenden, um zu wissen, dass wir -(a * 0)in Zeile (2) verwenden durften .

Definitionen in der Wirtschaft

In der Ökonomie werden jedoch nicht die gleichen Definitionen verwendet. Hier werden Definitionen ausschließlich für das "Definieren von Begriffen" und nicht für das "Verhältnis von Begriffen" verwendet. In der Volkswirtschaft kann man nicht nachweisen, dass eine Ausweitung der Geldmenge (die Inflation verursacht) die Arbeitslosigkeit kurzfristig senken wird. Die Definitionen in der Ökonomie sind dazu nicht eingerichtet; mehr noch, sie können das nicht.
Ein Grund dafür, dass die Definitionen in der Ökonomie dies nicht können, sind die Definitionen. Denken Sie an die Begriffe "gut", "Markt" und "Nachfrage". Alle diese Begriffe haben schlampige Definitionen. Sie beziehen sich nicht wirklich auf etwas anderes. Auf der anderen Seite gibt es Begriffe wie "Währung" und "BIP", die ausführlich und präzise definiert sind. Diese Definitionen wurden absichtlich gewählt, und die Messungen von "Währung" und "BIP" sind deshalb präzise.
Ein weiterer Grund, warum die Wirtschaftswissenschaften "schlechte" Definitionen haben, ist das Studium der Wirtschaftswissenschaften. Wirtschaft hängt stark von der Nachfrage des Einzelnen ab. Diese Nachfrage kann weder quantifiziert werden, noch gibt es eine Garantie dafür, dass sie von einem Moment zum nächsten gleich bleibt. Somit gibt es keinen wirklichen Weg, um einen Beweis zu konstruieren, der über einen bestimmten Moment hinaus wahr sein wird. Aus diesem Grund braucht die Wirtschaft keine strengen Definitionen. In der Mathematik können wir jedoch Beweise unabhängig von den von uns verwendeten Zahlen konstruieren und so die Grenzen bis in einen sehr weiten Kontext überschreiten. Im obigen Beweis haben wir aanstelle einer Nummer eine Nummer verwendet, sodass wir uns nicht darauf verlassen mussten, diese Nummer und nur diese Nummer zu verwenden. Durch die Verwendung von awissen wir, dass die Multiplikation mit einer beliebigen Zahl 0uns ergibt 0.

Antwort an Edesess

Edesess ist meistens (wahrscheinlich 95%) korrekt. In Wahrheit sind die meisten Definitionen der Ökonomie nicht "genau definiert" wie mathematische Definitionen. In der Mathematik werden die Definitionen von der Mathematischen Gemeinschaft als Ganzes sorgfältig geprüft und festgelegt (nicht zu sagen, dass wirtschaftliche Definitionen dies nicht sind, aber das liegt außerhalb meines Wissens). Aufgrund der Natur der Wirtschaft kann die Verwendung der Definitionen auch nicht dazu verwendet werden, irgendetwas zu beweisen.
Als Reaktion auf Edesess sollte die Wirtschaft jedoch nicht als Mathematik behandelt werden, da sich die Art und Weise, wie sie Entdeckungen macht, grundlegend unterscheidet. Die Wirtschaftlichkeit wird durch Umfragen, Marktdaten, Angebots- und Nachfragediagramme verbessert. Die Mathematik wird durch Forschung, Beweise und Theoreme gefördert.

Die Kritik von Edesess geht daneben. Die Realität ist viel tiefer als der bloße Missbrauch mathematischer Definitionen.

Die Wahrheit einer mathematischen Aussage hängt stark von der Fähigkeit ab, alle Definitionen zurückzuverfolgen, die für die axiomatische logische Ebene verwendet werden. In diesem Sinne würde man keinen Mathematiker finden, der wild Definitionen verwendet , die nicht auf den mathematisch / logisch wahren Wissensbestand reduziert werden können, der bereits existiert. Aber das ist das Offensichtliche.

In den Bereichen der angewandten Wissenschaft (Biologie, Medizin, Ingenieurwesen usw.) beginnt man mit einem realen Problem (Problemdomäne) oder Phänomen und modelliert das Problem in der Sprache der Mathematik. Ziel ist es, ein mathematisches Problem zu lösen / zu studieren / zu simulieren, um etwas über das eigentliche Problem sagen zu können.

In der Kritik geht es eigentlich um die Mathematisierung der Ökonomie (die mit Samuelson in den 50er und 60er Jahren begann). Die Behauptung ist, dass einige Ökonomen die Transformation in den mathematischen Bereich vornehmen und das ursprüngliche Problem aus den Augen verlieren und sich nie wieder in den Problembereich (dh das Zusammenspiel von Menschen, Unternehmen, Ressourcen usw.) zurückverwandeln. Diese Ökonomen scheinen sich damit zufrieden zu geben, lineare algebraische Beziehungen zu formulieren oder automatisch regressive Vektorgleichungen zu lösen, ohne empirische Rechtfertigung - oder schlimmer noch - zu behaupten, dass eine solche Ökonomie kurzfristigen Erwägungen überlegen ist (dh meine Theorie kann in keinem unserer Lebenszeiten verfälscht werden).

Dafür gibt es viele Beispiele. Ein offensichtlichste ist das die sogenannte Theorie des allgemeinen Gleichgewichts - was nicht nur mathematisch fehlerhaft dargestellt wird (über multiple Gleichgewichte (siehe Sonnenschein, Mantel, Debreu Satz) in den 1970er Jahren), ist aber die Hypothese aufgestellt fehlt jedes empirisches Gehalt. Infolgedessen bevorzugen einige Ökonomen es, im mathematischen Bereich zu bleiben - vielleicht jagen sie ein genaueres Modell (berechenbares GE, dynamisches GE, stochastisches GE, dynamisches stochastisches GE usw.) -, daher die missverstandene Kritik, die Ökonomen als Mathematiker tarnen . Man könnte den Fall herbeiführen, dass solche Menschen genauer als Pseudomathematiker beschrieben werden, die sich als Ökonomen tarnen (im Sinne des Problems).