Marshallianische Nachfrage nach Cobb-Douglas

Beim Versuch, das Dienstprogramm mit einer Cobb-Douglas-Dienstprogrammfunktion mit maximieren , habe ich die folgenden Formeln gefunden ( Wikipedia: Marshallian Demand ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

In einem meiner Bücher finde ich auch diese Formeln für den gleichen Zweck:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Mit : Preise der Ware; : Budget $p_i$ $m$

Ich habe sie alle getestet und sie haben die gleichen Ergebnisse erzielt.
Gibt es also Unterschiede?

— user1170330
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bezieht sich ausschließlich auf ? bis

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Können Sie eine Notation korrigieren? Sind im zweiten Beispiel a und b die Exponenten in der Utility-Funktion x1 und x2? Summieren sie 1? Ist y im ersten Problem dasselbe wie m im zweiten?

— BKay

@ Jamzy: Ja, das tut es.

— user1170330

@BKay: Bitte beachten Sie meine aktualisierten Notationen.

— user1170330

Antworten:

Da die Gleichungen genau gleich. Das Ersetzen von durch in der dritten und vierten Gleichung ergibt die erste und zweite Gleichung. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
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Können diese Formeln auch bearbeitet werden, um mit einer Dienstprogrammfunktion wie ? Also mit einer zusätzlichen Nummer vor ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Ich schlage vor, dies als neue Frage zu stellen.

— BKay

Was ist, wenn ? Sollte ich in diesem Fall Formel 3 und 4 verwenden?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 wenn es noch funktioniert

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

So gelangen Sie von Ihrer ersten zur zweiten Gleichung. Ihre Utility-Funktion ist da Ich werde sie leicht in a und (1-a) ändern. Um diese beiden Auswahlmöglichkeiten zu optimieren, müssen Sie den Utility maximieren Schreiben Sie Ihre Auswahlvariablen. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

vorbehaltlich Verwendung des Walras-Gesetzes. Grundsätzlich wird zur Optimierung des Nutzens das gesamte Geld ausgegeben. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Cobb-Douglas-Funktionen sind normalerweise für Optimierungsprobleme schwierig. Eine monotone Transformation, die die ordinalen Eigenschaften der Funktion beibehält, kann verwendet werden.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Dies wird stattdessen verwendet. Die gleiche Budgetbeschränkung wird angewendet.

Die Bedingungen für Lagrange und erste Bestellung sind unten aufgeführt

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

Das Manipulieren der Bedingungen erster Ordnung führt zu

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

Ersetzen in der Budgetbeschränkung $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

und

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Mit diesen Ergebnissen können wir die optimalen Verbrauchsbündel von und für eine bestimmte Kombination aus Preis und Vermögen ermitteln. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
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