Warum nicht über Dienstprogrammfunktionen auf der surrealen Linie sprechen, wenn die Einstellungen lexikografisch sind usw.?

Ich habe aus Neugier über die surrealen Zahlen gelesen . Obwohl ich sie nicht ganz verstehe, frage ich mich, warum ich sie nicht öfter benutze. Surreale Zahlen erweitern die reelle Linie auch um infinitesimale und unendliche Zahlen (transfinite Ordnungszahlen wie)$\omega$ welches mit der Kardinalnummer identifiziert wird $\aleph_0$selbst die Kardinalität von $\mathbb{N}$).

Oft gibt es interessante Präferenzen, die nicht durch eine realwertige Nutzenfunktion dargestellt werden können. Das offensichtliche Beispiel sind lexikografische Präferenzen. Aber warum nicht$u:\mathbb{R}^n\rightarrow S^*$, mögen $u(a,b)=a+\frac{b}{\omega}$?

Lexikografische Wahrscheinlichkeitsräume sind ein weiterer Ort, an dem diese Zahlen Anwendung finden könnten. Wenn wir zwischen zwei Ereignissen mit einer Wahrscheinlichkeit von Null unterscheiden wollen, lassen Sie eines eine Wahrscheinlichkeit haben$\frac{1}{\omega}$ und der andere $\frac{2}{\omega}$.

Man könnte fragen, sicher, dass Sie sie verwenden können, aber was ist der Sinn? Was gewinnen wir? Faire Frage. Ich denke nur, dass die Verwendung die Dinge sauberer machen würde - was lexikografische Probräume vielleicht weniger zu einer gequälten Konstruktion macht.

Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist, dass einige Wirtschaftsmodelle mehr als einen Agenten haben.

Wenn ein Agent eine Dienstprogrammfunktion mit Werten in hat ${\mathbb R}$Dann haben zwei Agenten ein Paar Dienstprogrammfunktionen mit gemeinsamen Werten in ${\mathbb R}^2$. Wenn ein Agent eine Dienstprogrammfunktion mit Werten in hat$S^*$, dann haben zwei Agenten ein Paar Dienstprogrammfunktionen mit gemeinsamen Werten in ... was? Wir können nicht einfach ein Produkt von bilden$S^*$ mit sich selbst, weil $S^*$ ist kein Satz.

Es gibt wahrscheinlich Wege, um diese Schwierigkeiten zu umgehen, aber sie werden ungeschickt sein und viel Herumspielen mit Fundamenten erfordern, die für die meisten Ökonomen mit ziemlicher Sicherheit nicht interessant sind.

Mit der Mengenlehre können wir Gewerkschaften, Produkte, Nebenprodukte und Machtsätze bilden. Damit können wir über Teilmengen und Obermengen sprechen, ohne uns Gedanken darüber machen zu müssen, ob sie existieren. Wirtschaftswissenschaftler verwenden diese Konstruktionen ständig, ohne darüber nachzudenken. Ich bezweifle, dass wir zu einer neuen Stiftung wechseln wollen, die uns zwingt, ständig darüber nachzudenken.

Hier geht es um lexikografische Wahrscheinlichkeit und hyperrealwertige Wahrscheinlichkeit im dritten Absatz. Aus der Frage und dem Kommentar geht hervor, dass diese Frage eher mit der Nützlichkeit hyperrealer Zahlen als mit surrealen Zahlen zusammenhängt.

Eine der zentralen und kontroversen Fragen in der Spieltheorie war, unter welchen Bedingungen ein allgemeiner Glaube an Rationalität eine Rückwärtsinduktion impliziert (siehe Aumann (1995) , (1998) und Binmore (1996) ).

Stellen Sie sich ein dreibeiniges Hundertfüßer-Spiel mit unvollständigen Informationen mit Harsanyis universellem Typraum vor. Ann vom Typ$t_a$ glaubt, dass Bob spielt $``In"$, während Ann vom Typ $u_a$ glaubt, dass Bob spielt $“Out”$. Bob hingegen glaubt, Ann sei Typ$u_a$ und spielt $``Out"$. Dann beim Staat$(t_a, (In,Out),Out)$Das ist nicht der Rückwärtsinduktionsweg, der allgemeine Glaube an Rationalität gilt immer noch. Was wir überprüfen müssen, sind im gegebenen Zustand:

1. Was Ann glaubt, impliziert, dass Ann rational ist.
2. Was Ann glaubt, dass Bob glaubt, impliziert, dass Ann glaubt, dass Bob rational ist.

3. Was Ann glaubt, dass Bob glaubt, dass Ann glaubt, impliziert, dass Ann glaubt, dass Bob glaubt, dass Ann rational ist.

   $\ldots \ \ldots$

Beachten Sie, dass wir nur die ersten drei Schritte überprüfen müssen. Was Ann glaubt, dass Bob glaubt, dass Ann glaubt, ist dasselbe wie das, was Ann glaubt, dass Bob glaubt, dass Ann glaubt $\ldots$Bob glaubt Ann glaubt. Das gleiche Verfahren gilt für eine ähnliche Situation des Austauschs von Ann und Bob in der obigen Argumentation.

Um das Basisergebnis zu erzielen, dass allgemeiner Glaube eine Rückwärtsinduktion impliziert, können wir zu einem hyperreal bewerteten Glaubenssystem wechseln. Insbesondere schließt ein Spieler keine der Strategien seines Gegners aus. Wenn sie glaubt, ein Gegner sei rational und strategisch$s_1$ ergibt eine höhere Auszahlung im Vergleich zu $s_2$ für diese Gegnerin wird sie das glauben $s_1$ ist unendlich wahrscheinlicher als $s_2$.

Wenn Ann glaubt, dass Bob rational ist, sollte Bob glauben, dass dann die Chance besteht, die Ann spielt $“Out"$ am dritten Knoten abhängig davon, dass sie spielt $“In"$ am ersten Knoten ist kleiner als $\frac{2}{3}$. Aber wenn Ann glaubt, dass Ann glaubt, dass Bob Ann vom Typ glaubt$t_a$ und $u_a$ ist rational, dann der Standardteil der Wahrscheinlichkeit, die Ann spielt $“Out"$ am dritten Knoten abhängig davon, dass sie spielt $“In"$ am ersten Knoten gleich $1$.

Natürlich funktioniert genau das gleiche Argument für die sparsamere lexikografische Wahrscheinlichkeit.

Ich vermute, dass einer der Nachteile, um eine hyperreale Wahrscheinlichkeit für eine breite Anwendung zu verhindern, darin bestehen kann, dass wir kein unendliches Produkt einer infinitesimalen Zahl definieren können. Zum Beispiel glaubt ein Spieler in einem unendlich umfangreichen Spiel, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Wahrscheinlichkeit, jeden Knoten eines Pfades zu erreichen, gleich ist$\epsilon$ Welches ist die Äquivalenzklasse von $(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \ldots,)$ bis zu einem festen Ultrafilter an $\mathbb{N}$. Natürlich erwarten wir, dass die Chance, dass dieser Weg realisiert wird, auch infinitesimal ist. Aber beachte das$\epsilon = \epsilon_n := \{a_i^n\}_{i \in \mathbb{Z_+}}$ in welchem

Wenn wir im Gegensatz zum endlichen Produkt das unendliche Produkt hyperrealer Zahlen als ihr komponentenweises Produkt definieren, können wir es in diesem Fall gleich jeder reellen Zahl machen $m$.