Wann kann man sicher davon sprechen, dass der Grenznutzen abnimmt?

Eine Sache, die ich oft höre, ist die Rede von einer Verringerung des Grenznutzens - die Idee ist, dass zusätzliche Einheiten eines Gutes zunehmend weniger attraktiv werden, je mehr Einheiten dieses Guten bereits vorhanden sind.

Dies machte mich jedoch aufgrund der Ordinalität des Nutzens immer ein wenig unbehaglich. Wenn wir den trivialen Fall einer Welt nehmen, in der es nur ein Gut gibt, dessen Nutzen erfüllt (abnehmender Grenznutzen), dann ist es eindeutig möglich zu konstruieren eine zunehmende Funktion f, so dass (f \ circ u) in x linear ist . Da Utility-Funktionen für monoton ansteigende Transformationen unveränderlich sind, ist (f \ circ u) eine Utility-Funktion, die dieselben Präferenzen wie u darstellt (aber jetzt einen konstanten Grenznutzen hat). In einer Welt mit einem einzigen Gut scheint es daher niemals sinnvoll zu sein, über eine Verringerung des Grenznutzens zu sprechen.$u(x)$f ( f ∘ u ) x ( f ∘ u ) $u'(x),\ u''(x)<0$$f$$(f\circ u)$$x$$(f\circ u)$$u$

Meine Frage lautet: Betrachten Sie einen Markt mit $L>1$ Waren. Gibt es eine formale Bedingung, unter der wir sicher über eine Verringerung des Grenznutzens sprechen können? Das heißt, es gibt eine Klasse von Präferenzen , so dass jede gültige Dienstprogramm Darstellung, $u(\mathbf{x})$ , hat $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ für einige $i$ ?

Alternativ gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass für $L>1$ die Existenz einer Dienstprogrammdarstellung mit $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ für einige $i$ notwendigerweise impliziert, dass alle Dienstprogrammdarstellungen $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

Das Konzept des "Grenznutzens" (und damit der Verringerung dieses Nutzens) hat nur im Zusammenhang mit dem Kardinalnutzen Bedeutung .

Angenommen, wir haben einen ordinalen Nutzenindex für ein einzelnes Gut und drei Größen dieses Gutes, , mit . Präferenzen verhalten sich gut und erfüllen die Benchmark-Regelmäßigkeitsbedingungenq 1 < q 2 < q 3 q 2 - q 1 = q 3 - q $u()$$q_1<q_2<q_3$$q_2-q_1 = q_3-q_2$

Dies ist eine ordinale Nützlichkeit. Nur die Rangfolge ist aussagekräftig, nicht die Entfernungen. Die Abstände und haben also keine verhaltens- / ökonomische Interpretation . Wenn nicht, auch nicht die Verhältnisseu ( q 3 ) - u ( q 2$u(q_2) - u(q_1)$$u(q_3) - u(q_2)$

Die Grenzen dieser Verhältnisse, wenn der Nenner auf Null geht, wären jedoch die Definition der Ableitung der Funktion . Das Derivat ist also frei von wirtschaftlicher / verhaltensbezogener Interpretation, und ein Vergleich zweier Instanzen der Derivatfunktion würde keinen aussagekräftigen Inhalt ergeben. $u()$

Dies bedeutet natürlich nicht, dass die Ableitungen von nicht als mathematische Konzepte existieren. Sie können existieren, wenn die für die Differenzierbarkeit erforderlichen Bedingungen erfüllt. Man kann also die rein mathematische Frage stellen, "unter welcher Bedingung die Funktion, die den ordinalen Nutzen darstellt, eine streng negative zweite Ableitung hat " (oder einen negativen definitiven Hessischen für den multivariaten Fall) und versuchen, sie nicht als "abnehmenden Grenznutzen" mit wirtschaftlichem / Verhaltensinhalt zu interpretieren , aber nur als mathematische Eigenschaft, die in dem von ihm untersuchten Modell eine Rolle spielen kann. u ( $u()$$u()$

In einem solchen Fall wissen wir Folgendes:
1) Wenn Präferenzen konvex sind, ist der Gebrauchsindex eine quasi-konkave Funktion.
2) Wenn Präferenzen streng konvex sind, ist der Gebrauchsindex streng quasi-konkav

Quasi-Konkavität ist jedoch eine andere Art von Eigenschaft als Konkavität: Quasi-Konkavität ist eine "ordinale" Eigenschaft in dem Sinne, dass sie unter einer zunehmenden Transformation der Funktion erhalten bleibt.

Andererseits ist Konkavität eine "Kardinal" -Eigenschaft in dem Sinne, dass sie bei einer zunehmenden Transformation nicht unbedingt erhalten bleibt.
Überlegen Sie, was dies impliziert: Nehmen Sie an, wir finden eine Charakterisierung von Präferenzen, so dass sie durch einen Dienstprogrammindex dargestellt werden können, der als Funktion konkav ist. Dann können wir eine zunehmende Transformation dieses Dienstprogrammindex finden und implementieren, die die Konkavitätseigenschaft beseitigt.

Die Tatsache, dass Sie nach "Sicherheit" fragen, impliziert, dass Sie glauben, dass ein Ergebnis in Gefahr ist. Diese Antwort kann verbessert werden, wenn Sie ein Ergebnis angeben können, an das Sie möglicherweise denken. Ansonsten nehmen wir als Beispiel den ersten und den zweiten Wohlfahrtssatz. Sie sind nicht auf eine Verringerung des Grenznutzens angewiesen.

Wenn Sie sich Sorgen über Ergebnisse zu Präferenzen gegenüber Unsicherheit machen (Ideen zur Risikoaversion usw.), erinnern Sie sich daran, dass eine Standarddarstellung von Präferenzen ohne Unsicherheit bis zu einer positiven monotonen Transformation eindeutig ist, eine Darstellung von Von Neumann-Morgenstern jedoch Präferenzen gegenüber Unsicherheiten sind nur bis zu positiven affinen Transformationen einzigartig .

BEARBEITEN: Zusätzliche Hinweise.

Die Definition einer Nutzenfunktion wird wie folgt gegeben (aus Advanced Microeconomic Theory von Jehle und Reny, 2011):