Gibt es in einem Ressourcenauswahlspiel immer ein reines Nash-Gleichgewicht?

Bezeichne . $[r]\triangleq\{1,2,\ldots,r\}$

Betrachten Sie ein Spiel mit Spielern, , jeder hat Strategien, . $n$ $[n]$ $m$ $[m]$

Jedem Spieler ist eine Auszahlungsfunktion zugeordnet, die nur seine ausgewählte Strategie berücksichtigt, und die Anzahl der Spieler, die dieselbe Strategie ausgewählt haben: $i$

{U.}_{ich} :: [m]] \times [n]] \to [0, 1]]

$U_i:[m]\times[n]\to[0,1]$

Darüber hinaus nimmt die Utility-Funktion in der Anzahl der Spieler, die dieselbe Strategie gewählt haben, monoton ab, dh

\forall ich \in [n]], j \in [m]], k \in [n - - 1]] :: {U.}_{ich} (j, k) \geq {U.}_{ich} (j, k + 1)

$\forall i\in[n],j\in[m],k\in[n-1]:U_i(j,k)\geq U_i(j,k+1)$

Hat dieses Spiel immer ein reines Nash-Gleichgewicht?

Können wir es (rechnerisch) effizient finden?

Beachten Sie, dass im Sonderfall , in dem alle Spieler symmetrisch sind ( ), das Spiel auf ein genaues potenzielles Spiel reduziert wird und daher garantiert ein reines Nash-Gleichgewicht aufweist . $\forall i,j\in[n]: U_i\equiv U_j\equiv U$

Die mögliche Funktion für den symmetrischen Fall wäre bei einem Strategieprofil : $s$

ϕ (s) = \sum_{j \in [m]]} \sum_{k = 1}^{#_{j} (s)} U. (j, k)

$\phi(s) = \sum_{j\in[m]}\sum_{k=1}^{\#_j(s)} U(j,k)$

Wobei die Anzahl der Spieler in Spielstrategie . $\#_j(s)$ $s$ $j$

— RB
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Ja, es gibt immer ein reines Nash-Gleichgewicht. Sehen:

I Milchtaich (1996). Überlastungsspiele mit spielerspezifischen Auszahlungsfunktionen. Spiele und wirtschaftliches Verhalten 13 (1), 111-124.

Sie interessieren sich für den Sonderfall von Singleton- Überlastungsspielen mit spielerspezifischen Auszahlungsfunktionen.

Und ja, sie können in Polynomzeit berechnet werden. Siehe Folgerung 7 in:

Heiner Ackermann, Heiko Röglin, Berthold Vöcking (2009). Reine Nash-Gleichgewichte in spielerspezifischen und gewichteten Überlastungsspielen. Theoretical Computer Science 410 (17), 1552-1563.

— Rahul Savani
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Danke für die Antwort Rahul. Nicht überzeugt von der Härte, da dies ein Sonderfall des Stauspiels und nicht des allgemeinen Spiels ist.

— RB

Entschuldigung, ich habe Ihre Definition falsch verstanden. Sie interessieren sich für Singleton- Überlastungsspiele mit spielerspezifischen Auszahlungen. Meine Antwort würde für asymmetrische Netzwerküberlastungsspiele gelten. Ich habe es bearbeitet.

— Rahul Savani

Danke Rahul! Wenn Sie interessiert sind, habe ich eine verwandte Frage zu mathoverflow , bei der die Auszahlung an den Spieler von der Anzahl der Spieler abhängt, die dieselbe Strategie wählen. Sie kann jedoch auf 0 fallen, wenn einige Spieler denselben Singleton auswählen. Danke noch einmal.

— RB