Submodularitätseigenschaft in Überlastungsspielen?

Lassen $G$ sein , $n$ SPIELER und $m$ -Elemente Staus Spiel .

Für ein Gleichgewicht $e$ bezeichnen Sie mit

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Wobei die Unterstützung des -ten Spielers enthält, der (die Menge von Strategien, die mit positiver Wahrscheinlichkeit spiele). $sup_i(e)$ $i$ $e$ $i$

Wir sagen auch, dass iff , jeder Spieler in randomisiert seine Aktion auf einer Untermenge von den Aktionen hätte er wählen können, . $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ $e$ $e'$

Eine letzte Definition sind die sozialen Kosten, die definiert sind als die Summe der Kosten für die Spieler. $SC(e)$

Lassen zwei (möglicherweise gemischt) equilibriums für . $e,e'$ $G$

Does implizieren ?
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
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Meinten Sie sagen ? Intuitiv würde man meinen, dass die Konzentration des Gleichgewichtsspiels um weniger Elemente dazu führen würde, dass jedes Element mehr überlastet wird.

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— Allgegenwärtig

@Ubiquitous - Ich denke, es ist genau das Gegenteil. Jeder Spieler konzentriert sich auf weniger Elemente, was bedeutet, dass weniger Spieler jedes Element nutzen. Die Tatsache, dass jeder Spieler jetzt eine Untergruppe von Elementen auswählt und dies immer noch ein Gleichgewicht ist , könnte bedeuten, dass die Gesellschaft davon profitiert (andernfalls scheint es, dass der Spieler wahrscheinlich zurückkehrt, um mehr Elemente zu verwenden).

— RB

Hängt von der Kostenfunktion ab (Verzögerung). Das Spiel in der Frage ist unvollständig spezifiziert, weil Auszahlungen (Kosten) fehlen.

— Sander Heinsalu

Dieser Satz ist im Allgemeinen nicht wahr . Man kann zeigen, dass es im Fall und wahr ist . Hier zeige ich ein Gegenbeispiel mit und . $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

Ein kurzer Kommentar. Wir können die Frage in Worten umformulieren: Ist ein Nash-Gleichgewicht, das "zufälliger" ist ( gegen ), weniger effizient? Wenn mehr gemischte Strategien gespielt werden, ist das realisierte Ergebnis intuitiv zufälliger und kann aufgrund mangelnder Koordination zwischen den Agenten sehr ineffizient sein. Wenn Agenten reine Strategien spielen, können wir denken, dass wir das Koordinationsproblem reduzieren, da wir Nash-Gleichgewichte berücksichtigen. Diese Intuition gilt nicht, wenn der Satz falsch ist, wie ich zeigen werde, wenn und . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Bezeichnen Sie und die beiden möglichen Aktionen. Die Verzögerungsfunktionen sind wie folgt definiert: , , und , , . bedeutet, dass wenn Agenten (bzw. ) spielen, sie die Auszahlung (bzw. ) erhalten. Dies ist ein (symmetrisches) Überlastungsspiel, solange die Verzögerungsfunktionen zunehmen. $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Definieren Sie als Gleichgewicht, wenn 1 Agent und 2 Agents . Definieren Sie als das Gleichgewicht, wenn 1 Agent immer spielt und die 2 anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von und mit einer Wahrscheinlichkeit von . Es erfüllt die Eigenschaft . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Zunächst zeigen wir, dass ein Nash-Gleichgewicht ist. Die Agentin, die spielt, maximiert ihre Auszahlung, da die Strategie der beiden anderen Spieler bei Auswahl von besser ist als bei Auswahl von , (dh ). Beide Agenten, die spielen, spielen optimal, wenn (dh ) ist. ist also ein Nash-Gleichgewicht und seine sozialen Kosten sind . $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

Zweitens zeigen wir, dass ein Nash-Gleichgewicht ist. Einerseits maximiert die Agentin, die spielt, ihre Auszahlung, wenn die beiden anderen gemischte Strategien spielen, wenn sie besser spielt als , dh , was zutrifft. Andererseits ist es jedem der Agenten, der die gemischte Strategie spielt, gleichgültig, ob er oder wählt, wenn dh . $e'$ $B$ $B$ $A$

(1 - μ)^{2} d_{B} (3) + 2 μ (1 - μ) d_{B} (2) + μ^{2} d_{B} (1) < (1 - μ)^{2} d_{A} (1) + 2 μ (1 - μ) d_{A} (2) + μ^{2} d_{A} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} (2) + (1 - μ) d_{A} (1) = μ d_{B} (2) + (1 - μ) d_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$ ist dann ein Nash-Gleichgewicht und seine sozialen Kosten sind entspricht .

(1 - μ)^{2} [3 d_{B} (3)] + 2 μ (1 - μ) [d_{A} (1) + 2 d_{B} (2)] + μ^{2} [2 d_{A} (2) + d_{B} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

Schließlich haben wir gezeigt, dass aber . Das Nash-Gleichgewicht mit gemischten Strategien führt zu niedrigeren sozialen Kosten als das reine Strategie-Gleichgewicht. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
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