Frage zur Maximierung des Dienstprogramms einrichten.

Stellen Sie sich einen Verbraucher vor, dessen Präferenzen durch die folgende Dienstprogrammfunktion dargestellt werden können:

$$u(x_1,x_2)=\dfrac{x_2}{(1+x_1)^2}.$$

4. Angenommen, das Einkommen des Agenten ist . Der Preis für eine Einheit von gut ist . Für jede Einheit von Gut die der Agent kauft, kann er bis zu einer Einheit von Gut zu einem zusätzlichen Preis von kaufen . Mit anderen Worten, um eine Einheit von Gut zu kaufen, muss der Agent zuerst eine Einheit von Gut kaufen . Der Agent muss alles konsumieren, was er kauft. Zeichnen Sie anhand dieser Informationen den möglichen Satz. Ist es konvex? Leiten Sie das Dienstprogramm-Maximierungspaket ab.$y=5$$1$$p_1=1$$1$$2$2 $p_2=1$$2$$1$
5. Wie ändern sich Ihre Antworten auf Frage 4., wenn der Agent nicht alles konsumieren muss, was er kauft ("freie Verfügung")?

Zu Frage (4)

Die Budgetbeschränkung ist

$$x_1p_1+x_2(p_1+p_2)=y$$

Meine Frage ist

1) ist meine Budgetbeschränkung wahr?

2) Was ist der Unterschied, wenn Budgetbeschränkungen eine freie Verfügung erlauben und nicht erlauben?

Ich verstehe den Teil nicht (5).

Meine Lösung ist auch gebucht.

Danke vielmals.

Stellen Sie sich einen Verbraucher vor, dessen Präferenzen durch die folgende Dienstprogrammfunktion dargestellt werden können:

$$u(x_1,x_2)=\dfrac{x_2}{(1+x_1)^2}.$$

4. Angenommen, das Einkommen des Agenten ist . Der Preis für eine Einheit von gut ist . Für jede Einheit von Gut die der Agent kauft, kann er bis zu einer Einheit von Gut zu einem zusätzlichen Preis von kaufen . Mit anderen Worten, um eine Einheit von Gut zu kaufen, muss der Agent zuerst eine Einheit von Gut kaufen . Der Agent muss alles konsumieren, was er kauft. Zeichnen Sie anhand dieser Informationen den möglichen Satz. Ist es konvex? Leiten Sie das Dienstprogramm-Maximierungspaket ab.1 p 1 = 1 1 2 p 2 = 1 2 $y=5$$1$$p_1=1$$1$$2$$p_2=1$$2$$1$
5. Wie ändern sich Ihre Antworten auf Frage 4., wenn der Agent nicht alles konsumieren muss, was er kauft ("freie Verfügung")?

Für Q 4:

Nutzenmaximierungsproblem des Verbrauchers ist:

$$\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*}$$

Hier ist die Einschränkungsmenge des Verbrauchers zusammen mit einigen Indifferenzkurven:

Beachten Sie, dass die Einschränkung konvex ist und der Verbraucher sein gesamtes Einkommen nicht optimal ausgibt. Sein optimales Verbrauchsbündel ist .$(x_1, x_2) = (1,1)$

Für Q 5:

Nutzenmaximierungsproblem (bei freier Entsorgung) des Verbrauchers ist:

$$\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2, b_1, b_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ b_1+b_2 \leq 5 \\ & \ \ 0 \leq b_2 \leq b_1 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_1 \leq b_1, 0 \leq x_2 \leq b_2\end{eqnarray*}$$

Dabei bezeichnet , die Menge der beiden vom Verbraucher gekauften Waren und , die konsumierte Menge. In diesem Fall wird der Verbraucher versuchen, seinen Verbrauch von Ware 2 maximieren, indem er so viel Ware 2 kauft, wie er kann. Die Lösung für dieses Dienstprogrammmaximierungsproblem lautet .$b_1$$b_2$$x_1$$x_2$$(x_2)$$(b_2)$$b_1 = b_2 = x_2 = 2.5, x_1 = 0$

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Für Q 4 gibt es eine Möglichkeit, das Optimierungsproblem mithilfe der Lagrange-Methode zu lösen:

Angesichts des Problems der Nutzenmaximierung des Verbrauchers:

$$\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*}$$

Wir haben den Lagrange wie folgt eingerichtet:

$\mathcal{L}(x_1, x_2) = \dfrac{x_2}{(1+x_1)^2} - \lambda(x_1+x_2-5) +\mu_1(x_1-x_2)+ \mu_2x_2$

Notwendige Voraussetzungen für die Optimalität sind:

$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \dfrac{-2x_2}{(1+x_1)^3} - \lambda + \mu_1 = 0$

$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{(1+x_1)^2} -\lambda - \mu_1 + \mu_2 = 0$

$x_1+x_2 \leq 5$ , und$\lambda \geq 0$$\lambda(x_1+x_2-5) = 0$

$x_1 \geq x_2$ , und$\mu_1 \geq 0$$\mu_1(x_1-x_2) = 0$

$x_2 \geq 0$ , und$\mu_2 \geq 0$$\mu_2x_2 = 0$

Wenn wir das obige System lösen, erhalten wir

$x_1 = 1$ , , , ,$x_2 = 1$$\mu_1 = \frac{1}{4}$$\mu_2=0$$\lambda = 0$

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Alternativ kann das Problem für Q 4 auch in ein einzelnes variables Optimierungsproblem konvertiert werden. Dies liegt daran, dass die Person im Gleichgewicht immer gleiche Mengen von und verbraucht . Das Einsetzen von ergibt:$x_1$$x_2$$x_2=x_1$

$$\begin{eqnarray*} \max_{x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_2)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ 0 \leq x_2 \leq 2.5 \end{eqnarray*}$$

Das Differenzieren von in Bezug auf ergibt die folgende notwendige Bedingung$\dfrac{x_2}{(1+x_2)^2}$$x_2$

$\dfrac{(1+x_2)^2 - 2(1+x_2)x_2}{(1+x_2)^4} = \dfrac{1-x_2^2}{(1+x_2)^4} = 0$

ergibt und den entsprechenden Wert von .$x_2 = 1$$x_1 = 1$

Hallo das scheint und interessante Frage! Was ich tun würde, ist das

$Max$ $u(x_1,x_2)=\frac{x_2}{(1+x_1)^2}$

Betreff: $p_1*x_1+p_2*x_2 = y$

$x_1 = x_2$

Die Intuition, die ich fühle, ist, wie Sie den Nutzen sehen, der Gute ist schlecht, er will ihn nicht kaufen und konsumieren, wenn er mehr davon bekommt, sein Nutzen wird abnehmen, aber in diesem Fall muss er ihn kaufen Um die Ware 2 zu konsumieren, möchte er für jede Einheit, die er von der Ware 1 gekauft hat, sofort die Ware 2 kaufen, da die Ware 2 seinen Nutzen erhöht. Deshalb setze ich (x1 = x2). Wenn Sie zum Beispiel , haben Sie das Gefühl, dass Sie den doppelten Preis von gut 1 zahlen müssen, wenn Sie die gute 2 erhalten möchten, und das ist nicht wahr.$p_1*x_1+p_2*x_2+p_1*x_2 = y$

Für die zweite Antwort verbraucht er nicht die gute 1, sondern nur die gute 2, sondern das Optimum, das Sie in der Maximierung des ersten Problems finden, in diesem Fall jedoch .$x_1 = 0$

Hoffe das überzeugt euch! :), vielleicht ist es falsch, was ich gesagt habe, aber intuitiv fühle ich mich in Ordnung.