Stellen Sie sich eine Wirtschaft mit einem Kontinuum von Waren vor, mit einer Ware für jeden Punkt in .
Angenommen , ein Verbraucher wünscht zu maximieren unterliegt , wo ist die Menge des -ten konsumierte Ware, ihr Preis und das Geldeinkommen des Verbrauchers.
Diese Art von Problem tritt beispielsweise bei der Anwendung des Dixit-Stiglitz-Modells auf die Makroökonomie oder den internationalen Handel auf.
Die Lösung für dieses Problem ist angeblich wobei eine Konstante ist, die ausgewählt wurde, um sicherzustellen, dass die Budgetbeschränkung erfüllt ist.
Ich bin nicht sehr zufrieden mit Ableitungen dieses Ergebnisses, die Lagrange-Multiplikatoren in Analogie zum Fall einer endlichen Anzahl von Waren verwenden. Was wäre eine völlig mathematisch strenge Methode, um das obige Ergebnis abzuleiten?
Es scheint klar zu sein, dass es keine eindeutige Lösung gibt, da durch willkürliches Ändern der Werte von für eine endliche Anzahl von Werten von die Integrale in der Utility-Funktion und die Budgetbeschränkung unverändert . Ich gehe davon aus, dass eine völlig strenge Ableitung diesen Grad der Eindeutigkeit auch korrekt bestimmen würde.
EDIT: Als Antwort auf die Kommentare von @BKay, @Ubiquitous. Mein Problem, mit Volkswirtschaften mit Rohstoffen zu beginnen und das Limit als ist, dass dies von einem Argument begleitet werden muss, das zeigt, dass das Limit von Optima ein Optimum des Limitproblems ist. Ich würde mich über einen Verweis auf ein Ergebnis freuen, das dies entweder für dieses spezielle Problem oder auf ein allgemeines Ergebnis zeigt, das auf dieses Problem anwendbar ist.
Als Antwort auf @AlecosPapadopoulos. Die Beweise der Langrange-Multiplikatormethode, die in Mathematik für Wirtschaftskurse gelehrt wird, beziehen sich normalerweise auf eine endliche Anzahl von Auswahlvariablen. Ich würde mich über einen Hinweis freuen, wo die Methode für ein Kontinuum von Auswahlvariablen gerechtfertigt ist. Auch die oben erwähnte Nicht-Einzigartigkeit zeigt, dass die Methode nicht genau richtig sein kann. Was genau sind dann die Qualifikationen, die für seine Gültigkeit erforderlich sind?