Homogen vom Grad eins in der Nutzfunktion.

Frage

Meine Lösung lautet wie folgt. Bitte überprüfen Sie meine Lösung. Wenn ich einen Fehler mache, sagen Sie es bitte. Ich bin mir über meine Lösung wirklich nicht sicher. Vielen Dank

U (x) ist homogen vom Grad eins, dh u (tx) = tu (x)

Zunächst zeige ich, dass die indirekte Nutzfunktion vom Grad eins in m homogen ist.

Durch die Nutzenmaximierung

V (p, m) = max u (x) vorbehaltlich px m $\le$

tv (p, m) = max tu (x) vorbehaltlich px m $\le$

Da u (tx) = tu (x), ist tv (p, m) = max u (tx) vorbehaltlich px m $\le$

Dann ist v (p, tm) = tv (p, m)

Das heißt, die indirekte Nutzfunktion ist homogen vom ersten Grad.

Ich zeige, dass die Ausgabenfunktion unter Verwendung des vorherigen Ergebnisses homogen vom Grad eins in u ist.

ich weiß das

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Da u (x) vom Grad eins homogen ist und v (p, m) vom Grad eins in m homogen ist, muss v (p, e (p, u)) vom Grad eins in e (p, u) homogen sein. .

Mit anderen Worten, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) gilt iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

dh die teure Funktion e (p, u) ist homogen vom Grad eins in u.

Jetzt werde ich zeigen, dass die Marshall-Nachfrage x (p, m) vom Grad eins in m homogen ist.

Durch Roys Identität,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Nach dem ersten Ergebnis ist x (p, m) homogen von Grad eins in m, da v (p, m) vom Grad eins in m homogen ist.

Lassen Sie uns nun zeigen, dass die hicksianische Nachfrage vom Grad eins in u homogen ist.

ich weiß das

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Da e (p, u) im zweiten Teil vom Grad eins homogen ist,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) muss gelten, da die Gleichheit (1) existiert.

Das heißt, die hicksianische Nachfrage ist homogen von Grad eins in u.

— none009
quelle

Es geht dir nicht schlecht. Beachten Sie für Ihren ersten Beweis, dass Sie schreiben sollten

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

— Alecos Papadopoulos

Die Art und Weise, wie Sie zeigen, dass vom Grad eins in homogen ist, ist korrekt, aber der Grund, warum dies impliziert, dass vom Grad eins in homogen ist, ist in Ihrer Argumentation nicht sehr genau . Zum Beispiel sagt uns die Dualität wobei nur eine Zielnutzenstufe ist, aber nicht wie in Ihrem Beweis . $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Hier ist ein möglicher Weg, um fortzufahren: Da in homogen vom Grad eins ist , kann es geschrieben werden als Das Anwenden der Gleichheit ergibt was eindeutig impliziert, dass homogen ist Grad eins in . Sie können ein ähnliches Argument verwenden, um die Homogenität der Hicks'schen Nachfrage zu beweisen. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Nach alledem würde ich vorschlagen, dass Sie die ursprüngliche Aussage direkt anhand der Definitionen der Ausgabenfunktion und der Hicksian-Nachfrage beweisen. Zum Beispiel

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
quelle

Okay, danke. Ich mache es auch für die hicksianische Nachfrage. Bitte überprüfen Sie auch meine Lösung auf hicksian Nachfrage. normalisieren wir noch einmal m = 1. Und . Da ist, habe ich daher ist, da e (p, u) in u homogen vom Grad eins ist, dann ist die hicksianische Nachfrage auch in u homomgen von Grad eins. Ist das richtig? Bitte überprüfen Sie es noch einmal lieber @ZiweiWang, vielen Dank. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Beachten Sie, dass Sie , also (dh sollte nicht in Ihrem Ausdruck für .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang