Wenn die optimale Steuerung fehlschlägt (?)

Um "meine Frage zu stellen", muss ich zuerst ein Modell lösen. Ich werde einige Schritte auslassen, aber das wird diesen Beitrag unvermeidlich sehr lang machen - also ist dies auch ein Test, um zu sehen, ob diese Community solche Fragen mag.

Bevor ich anfange, möchte ich klarstellen, dass dies in der ununterbrochenen Zeit wie ein klassisches neoklassisches Wachstumsmodell aussehen mag, aber nicht : Es handelt sich um ein einzelnes Individuum, das niemanden in der Wirtschaft um sich herum "repräsentiert", eine Wirtschaft, die ist nicht modelliert. Der Rahmen ist hier "Anwendung von Optimal Control auf das Maximierungsproblem eines einzelnen Individuums". Hier geht es um das Framework und die Methode der Optimal Control-Lösung.

Wir lösen das intertemporale Nutzenmaximierungsproblem eines Kleinunternehmers, der das Kapital seiner Firma besitzt, während er auf einem perfekt umkämpften Arbeitsmarkt Arbeitsleistungen erwirbt und sein Produkt (frische Donuts) auf einem perfekt umkämpften Warenmarkt verkauft. Wir setzen das Modell in kontinuierlicher Zeit ohne Unsicherheit (die sozioökonomischen Bedingungen sind stabil) und mit unendlichem Horizont (der Geschäftsmann stellt sich viele zukünftige Kopien von ihm in einer Reihe vor):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

wobei der Verbrauch des Unternehmers ist, unmittelbare Nutzen aus dem Verbrauch ist, die Rate der reinen Zeitpräferenz ist, das Kapital des Unternehmens ist, die Kapitalabschreibungsrate ist und ist die Produktionsfunktion des Unternehmens. Das Anfangskapital ist . Die eigene Beschäftigung des Unternehmers mit dem Geschäft wird in das Kapital subsumiert. Die Produktionsfunktion ist klassizistisch (konstante Skalenerträge, positive Randprodukte, negative zweite Teiltöne, Inada-Bedingungen). Die Einschränkungen sind das Kapitalbewegungsgesetz und die Transversalitätsbedingung unter Verwendung des aktuellen Wertmultiplikators. $c$$\ln c$$\rho>0$$k$$\delta$$f(k,\ell)$$k_0$

Aktuellen Wert Hamiltonian einstellen

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

Wir berechnen die Bedingungen erster Ordnung

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

und wenn wir sie kombinieren, erhalten wir das Gesetz der Entwicklung des Konsums unseres Unternehmers,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

Aus der optimalen Regel für den Arbeitsbedarf (statisch) und der Konstanten-Rückkehr zur ( ) erhalten wir . Einfügen in das Gesetz der Kapitalbewegung erhalten wirf = f k k + f ℓ ℓ f - w ℓ = f k$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Die Gleichungen und bilden ein Differentialgleichungssystem. Die stationären Werte für den Verbrauch und das Kapital des Unternehmers sind( 2 $(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... das ist ein ziemlich vertrauter Ausdruck.

$k^*$ wird manchmal als "modifizierte goldene Regel" des Kapitals bezeichnet. Der Jacobi des Systems, der bei den stationären Werten ausgewertet wird, hat eine negative Determinante für jeden Wert der Modellparameter , was eine notwendige und ausreichende Bedingung für das System ist, um Sattelpfadstabilität zu zeigen.

Das Maximum des Locus befindet sich am Punkt (manchmal als "goldene Regel" bezeichnet). ˜ $\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

Der Wert ist wichtig als Benchmark: Es ist der Kapitalpegel, bei dem und auf einem Maximum sind (nicht optimal oder stationär ).˙ k =0$\tilde k$$\dot k =0$$c$

Die Loci kreuzen die horizontale Achse des Phasendiagramms (das das Kapital misst) auf dem stationären Kapitalniveau .k$\dot c=0$$k^*$

Wenn , für die aufgrund negativer zweiter Teiltöne erforderlich ist , kommt es zu einer "Überanhäufung von Kapital" (zu viele Doughnuts). staatlicher Konsum mit geringerem Kapitalanteil. Mit und wir f ∗ k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 $k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

Die Ungleichung ist die Voraussetzung für ein nicht optimales Gleichgewicht des Kapitals. Und die Sache ist, wir können es nicht ausschließen . Es setzt lediglich voraus, dass der Geschäftsmann "ausreichend geduldig" ist, mit einer ausreichend geringen Präferenz für reine Zeit, aber immer noch positiv.$(5)$

Hier setzt das Problem an: Eine Überakkumulation von Kapital ist im repräsentativen Agentenmodell effektiv ausgeschlossen. Es ist in überlappenden Generationsmodellen möglich, aber als unbeabsichtigte Folge auf makroökonomischer Ebene eines der frühesten Beispiele dafür, dass die Makroökonomie möglicherweise mikrogegründet ist und sich dennoch anders verhält als die Mikrowelt.

Aber unser Modell fällt in keine Kategorie: Es ist ein partielles Gleichgewichtsmodell eines einzelnen Agenten in einer implizit heterogenen Umgebung - und das allgemeine Gleichgewicht hier ändert nichts an den Ergebnissen: Diese Person repräsentiert nur sich selbst. Das Problem ist also, dass, wenn gilt, die Optimal Control-Lösung offensichtlich suboptimal sein wird , weil wir hier eine einzelne Person, einen einzelnen Willen, einen einzelnen Verstand haben: Wenn wir uns die Lösung ansehen, wird unser Geschäftsmann sagen: hey, diese methode ist wertlos, wenn ich ihrem rat folge, bekomme ich ein suboptimal hohes kapital ". $(5)$

Und ich bin nicht zufrieden, einfach zu sagen: "Nun, Optimal Control ist nicht für dieses Problem geeignet, probieren Sie eine andere Methode", weil ich nicht sehe, warum wir es für ungeeignet halten sollten. Aber wenn es geeignet ist, dann sollte das Verfahren signalisieren , dass etwas nicht in Ordnung ist, es an einem gewissen Punkt sollte verlangen , dass ist nicht zu halten, um in der Lage sein , eine Lösung anbieten zu können (wenn es so den passiert nicht halt, alles sieht gut aus).( 5 $(5)$$(5)$

Man könnte sich fragen: "Vielleicht wird die Transversalitätsbedingung verletzt, wenn gilt?" -aber es sieht nicht so aus, da , was zu einer positiven Konstante geht, während geht Null, wobei nur diese erforderlich ist .$(5)$e - & rgr ; t & rgr; > $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Meine Fragen:

1) Kann hier jemand einen Einblick geben?

2) Ich wäre dankbar, wenn jemand dieses Problem mit Dynamic Programming lösen und die Ergebnisse melden würde.

ADDENDUM
Aus mathematischer Sicht besteht der entscheidende Unterschied dieses Modells darin, dass das optimierte Gesetz der Kapitalbewegung, Gl. beinhaltet nicht die gesamte Ausgabe wie im Standardmodell, sondern nur die Rendite zum Kapital . Und dies geschieht, weil wir Eigentumsrechte an der Ausgabe getrennt haben, was im Rahmen des "individuellen Geschäftsmaximierungsproblems" zu erwarten ist.f ( k ) f k$(2)$$f(k)$$f_kk$

Ich glaube, das Problem ist, dass der stationäre Zustand möglicherweise nicht existiert und das System stattdessen ein stetiges Wachstum aufweist (abhängig von den Parametern).

Der Grund dafür ist, dass das Modell dem Standardproblem der Verbrauchsreduzierung mit exogenem und konstantem Zinssatz entspricht. Betrachten Sie dazu zunächst die Bedingung erster Ordnung für die Arbeitswahl (hier ist eine partielle Ableitung von für das te Argument). Unter Verwendung der Definition von konstanten Erträgen ist das Grenzprodukt der Arbeit was nur eine Funktion des Verhältnisses von Kapital und Arbeit ist. Wenn der Lohn konstant ist, bestimmt das Labor FOC eindeutig das optimalef i f i $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$k/ℓw

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$Verhältnis in Abhängigkeit von Lohn und anderen Parametern. Da das Grenzprodukt von Kapital hängt auch von ab und ist auf dem optimalen Pfad konstant. Bezeichne diesen Wert des Grenzprodukts und bezeichne das Renditenetz der Abschreibung . Die Gleichungen (1) - (2) für die Dynamik von Kapital und Verbrauch lauten dann und Die spezifische Lösung, die die Transversalitätsbedingung erfüllt, sollte$w$ k / ℓ r ∗ r= r ∗ -δ ˙ c $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ ct=ρktk0(r-ρ) $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ $c_t = \rho k_t$bei gegebenem wird also zu jedem Zeitpunkt ein konstanter Teil des Reichtums verbraucht. Sowohl das Kapital als auch der Konsum wachsen mit der Rate , so dass es keinen stabilen Zustand gibt, es sei denn, die Kapitalrendite (die hier von der exogenen Lohnrate abhängt ) entspricht der Zeitpräferenzrate.$k_0$$(r-\rho)$$w$

Ich poste dies als Antwort, da es bei der Antwort von Benutzer @ivansml fortgesetzt wird. Dies ist die Antwort, die den Fang hier identifiziert hat, einen Fang, den ich naiv übersehen habe (obwohl es sich um einen engen Fall handelt, während der interessante Gleichheitsfaktor nachher kommt. Trotzdem hätte damit umgegangen werden sollen).

Tatsächlich wird bei einer exogenen Lohnquote und einer konkurrenzfähigen Optimierung der Arbeitsnachfrage das Grenzprodukt des Kapitals nur durch die Parameter des Modells und die Lohnquote bestimmt. Für den einfachen Fall, dass wir davon ausgehen, dass die Lohnrate konstant ist, gilt die Analyse von @ivansml: Das Modell wird zu einem Modell für endogenes Wachstum : Das Grenzprodukt des Kapitals ist konstant, was für endogenes Wachstum erforderlich ist, wenn es kein stabiles gibt Zustand in Ebenen .

Mit und können die Gleichungen und des OP geschrieben werden$\hat c = \dot c/c$(1)(2$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

k = f k - δ - c /

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Da konstant ist, ist die Wachstumsrate des Verbrauchs konstant - null, positiv oder negativ, abhängig von den Parametern und dem Lohn. Zum anderen erhalten wir die zeitliche Differenzierung ( 2 b $f_k$$(2b)$

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

und es ist offensichtlich, dass wir für ein stetiges Wachstum , was aus nur erhalten wird, wenn . Es ist leicht zu überprüfen, dass, da , die einzige Möglichkeit, die die Transversalitätsbedingung erfüllt, darin besteht, dass Konsum und Kapital mit der gleichen Geschwindigkeit wachsen oder schrumpfen (oder konstant bleiben).$\hat k = \hat c$c = ρ k λ ( t ) = c ( t $(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$

In endogenen Wachstumsmodellen, in denen wir die gesamte Wirtschaft untersuchen, gehen wir einfach davon aus, dass die Parameter des Modells so sind, dass eine positive Wachstumsrate vorliegt, da wir dies in der realen Welt beobachten. Aber hier haben wir nur eine Person. Also, was sagen wir vielleicht unserem Geschäftsmann?

Wenn , ist die Wachstumsrate positiv und sowohl sein Verbrauch als auch sein Kapital sollten "für immer" wachsen, wobei ein konstantes Verhältnis beibehalten wird. Wenn , ist die Wachstumsrate Null und beide Variablen bleiben für immer konstant. Wenn , ist die Wachstumsrate negativ, und wir sollten in eine Abwärtsspirale mit abnehmendem Verbrauch und Kapital eintreten (wobei immer die Beziehung beibehalten wird ).$f_k-\delta -\rho >0$
f k - δ - ρ < 0 c = ρ $f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$

Dies hat eine gewisse Intuition, die die Angemessenheit der Anwendung von Optimal Control bestätigt: Je größer die "Ungeduld" (je größer ist), desto wahrscheinlicher wird es, dass der Einzelne ein sinkendes Verbrauchsniveau erfährt, da Die Zukunft und damit die Investition sind nicht sehr nach seinem Geschmack. Natürlich mag eine monotone Abwärtsspirale als Lösung nicht sehr realistisch klingen - aber dies ist ein sehr stilisiertes Modell, das im Wesentlichen allgemeine Tendenzen in einer notwendigerweise sehr formalen mathematischen Sprache liefert. $\rho$

Der wirklich interessante Teil beginnt, wenn wir einen variablen Lohn betrachten . Dies kann für unseren kleinen Geschäftsmann und seine Konsum-Investitionsentscheidungen eine Vielzahl interessanter und komplizierter Dynamiken erzeugen.

Ich denke, die Schlüsselfrage ist, ob dieses Unternehmen das einzige Unternehmen in der Wirtschaft ist. Wenn dies der Fall ist, ist es nicht mehr richtig, als gegeben zu betrachten, da von seiner eigenen Kapitalakkumulationsentscheidung beeinflusst wird. In diesem Fall sollten Sie die Ersetzungen vornehmen, die Sie vor Ihrer Gleichung (2) beim Einrichten des Hamilton-Operators vorgenommen haben. Wenn dies andererseits eines von vielen Unternehmen ist, so dass der Lohnsatz exogen ist, dann sind die Substitutionen vor Gl. (2) sind ungültig. Ich denke, Sie müssen sorgfältig zwischen Big , dem Gesamtkapital der Wirtschaft, und Little dem von diesem Entscheidungsträger gewählten Kapital, unterscheiden.w k $w$$w$$k$$k$