Beispiel für eine Produktionsfunktion mit steigenden Skalenerträgen, aber abnehmendem Grenzprodukt [Duplikat]

Diese Frage hat hier bereits eine Antwort:

Dies zeigt, dass die Produktionstechnologie eine sinkende Rendite bei der Antwort auf Skala 1 aufweist

Ich weiß, dass eine Verringerung der Grenzerträge selbst für alle Produktionsfaktoren keine Verringerung der Skalenerträge bedeutet. Aber können Sie mir bitte nur ein Beispiel für eine solche Produktionsfunktion geben?

microeconomics production-function

— Alice
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Im Titel schreiben Sie "aufsteigend", in der Frage schreiben Sie "absteigend". Korrigieren und klären.

— Alecos Papadopoulos

Dies ist kein Duplikat. Im Zusammenhang mit dem Problem nimmt die Grenzproduktivität nicht (streng) ab.

— Michael Greinecker

Wenn Sie die Grenzerträge für einen Faktor verringern, bedeutet dies, dass die von diesem Faktor generierte Grenzleistung abnimmt, wenn Sie die anderen Faktoren unverändert lassen. Bei der Betrachtung der Skalenerträge ändern wir alle Ausgänge. Das Erhöhen eines Faktors mit sinkenden Grenzerträgen kann indirekt die Grenzproduktivität anderer Faktoren erhöhen. Wenn wir alle Faktoren gleichzeitig erhöhen, können die indirekten Effekte die direkten Effekte überwiegen. Die Produktionsfunktion gegeben durch weist abnehmende Grenzfaktorproduktivitäten auf überall, aber nicht abnehmende Skalenerträge (es gibt auch keine steigenden Skalenerträge). $F:\mathbb{R}_+^2$

F (x, y) = (x + 1)^{2 / 3} (y + 1)^{2 / 3}

$F(x,y)=(x+1)^{2/3}(y+1)^{2/3}$

— Michael Greinecker
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Um die marginale Rendite zu verringern, müssen die zweiten partiellen Ableitungen negativ sein, da wir untersuchen, was passiert, wenn wir nur eine Eingabe variieren

Also jede Funktion

y = \prod_{i = 1}^{m} x_{i}^{a_{i}}, 0 < a_{i} < 1 \forall i

$y = \prod_{i=1}^{m}x_i^{a_i},\;\;\; 0<a_i<1\;\; \forall \,i$

mit zur Erhöhung der Skalenerträge und mit zur Verringerung der Skalenerträge, da wir hier untersuchen, was passiert, wenn wir alle Eingaben um den gleichen Anteil erhöhen. $\sum a_i >1$ $\sum a_i <1$

Antworten auf Kommentare

Wir überprüfen die Skalenerträge für diese Funktion, indem wir für den Ausdruck untersuchen $k>1$

\prod_{i = 1}^{m} (k x_{i})^{a_{i}} = k^{\sum a_{i}} \cdot y

$\prod_{i=1}^{m}(kx_i)^{a_i} = k^{\sum a_i}\cdot y$

Wenn die Summe der Alphas größer als Eins ist, steigt die Ausgabe stärker als sodass wir mehr Skalenerträge erzielen und entsprechend weniger Skalenerträge erzielen, wenn die Summe der Alphas kleiner als Eins ist. $k$

In Bezug auf sinkende Grenzerträge ergibt sich die Änderungsrate der Grenzleistung, die durch einen Faktor erzeugt wird, der die anderen festhält, aus seiner eigenen zweiten partiellen Ableitung, die hier gegeben ist

\frac{\partial^{2} y}{\partial x_{i}^{2}} = a_{i} (a_{i} - 1) \cdot \frac{y}{x_{i}^{2}}

$\frac {\partial^2 y}{\partial x_i^2}= a_i(a_i-1)\cdot \frac {y}{x_i^2}$

Wenn , sind diese zweiten Teiltöne alle negativ. $0<a_i<1$

— Alecos Papadopoulos
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Was ist Ihre Definition von sinkenden / steigenden Skalenerträgen? Beispielsweise kann eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gemäß der im Wikipedia-Eintrag verwendeten Definition für Skalenerträge keine positiven oder abnehmenden Skalenerträge aufweisen (etwas, was der Eintrag später falsch macht).

— Michael Greinecker

@MichaelGreinecker Ich habe meine Antwort erweitert, um Ihre Fragen zu beantworten.

— Alecos Papadopoulos

@MichaelGreinecker mache ich sicher, da es sich um einen mathematischen Fall handelt, der aus wirtschaftswissenschaftlicher Sicht eher uninteressant ist. Was die Definition in Wikipedia für die Cobb-Douglas-Funktion betrifft, folgt es der Konvention, "Cobb-Douglas" die Funktion zu nennen, wenn die Summe der Exponenten genau gleich eins ist, während wir die Exponentialform mit einer anderen Summe der Exponenten als verwenden möchten Einheit nennen wir es normalerweise "generalisierte Cobb-Douglas".

— Alecos Papadopoulos

@MichaelGreinecker Ich bin nicht sicher, ob ich verstehe, was ich noch schreiben soll, außer vielleicht durch Hinzufügen des Qualifiers . Alle Wirtschaftsbücher, die ich kenne, erwähnen das nicht einmal, gerade weil ein "Null-Output-Fall aufgrund der Festlegung eines Inputs auf Null" für die Zwecke der Wirtschaft uninteressant ist.

x_{i} > 0, \forall i

$x_i>0,\, \forall\, i$

— Alecos Papadopoulos

Ich bin der Ansicht, dass alle Wirtschaftslehrbücher falsch sein können, insbesondere diejenigen, die Anspruch auf mathematische Strenge erheben. Ein Lehrbuch, das den Fehler nicht begeht, ist "Microeconomic Foundations I" von David Kreps.

— Michael Greinecker