Gemäß MWG Proposition 6.B.2 wird gezeigt, dass die erwartete Nutzenform nur durch Erhöhen der linearen Transformation erhalten bleibt.
Welche Bedeutung hat dieser Satz?
Der Teil, den ich beim Verbinden der Punkte als schwierig empfinde, besteht darin, dass die Autoren direkt nach dem Beweis dieses Satzes behaupten, dass dieser Satz es uns ermöglicht, die Bedeutung in Unterschieden von Nutzen zu interpretieren. Wie sind diese beiden genau miteinander verbunden?
Antworten:
Dies ist ein subtiles Thema. Jede streng zunehmende Veränderung wird die Reihenfolge der Lotterien bewahren. Dies ist das Standardergebnis, das besagt, dass der Nutzen nur eine Ordnungssache ist. Wir kümmern uns wirklich nicht darum, wie hoch er ist.
Auf der anderen Seite gibt es Darstellungen der Vorlieben von Personen, mit denen sich aus rechnerischer Sicht leichter arbeiten lässt oder die unser Verständnis der zugrunde liegenden Ökonomie des Problems verbessern. Ein Beispiel ist, wenn wir quasilineare Einstellungen für Gut 1 haben (siehe MWG, Kapitel 3 für dieses Beispiel). In diesem Fall ist . Wenn wir zum Beispiel das Exponential von nehmen, behalten wir natürlich die Ordnung bei, aber nicht diese sehr nützliche Darstellung.U
Wenn es um Kapitel 6 geht und Lotterien auf die Bühne kommen, passiert dasselbe. Der Nutzen einer Lotterie (man denke an eine Verteilung des Konsums auf verschiedene Szenarien) könnte eine sehr komplizierte Funktion sein. Möglicherweise hängt das Dienstprogramm, das Sie erhalten, wenn Sie einen Regenschirm in der Hand halten, auch von dem Dienstprogramm ab, das Sie erhalten, wenn Ihre Fußballmannschaft gewinnt und Sie das Spiel nicht zu Hause verfolgen. Die Darstellung des VNM-Dienstprogramms ist genau deshalb nützlich, weil damit Dienstprogramme verschiedener Szenarien voneinander getrennt werden.
Wenn Sie also mit dem Vergleich von Lotterien beginnen, ist die Auswirkung einer Erhöhung der Wahrscheinlichkeit, einen Regenschirm zu halten, wenn es in einer bestimmten Lotterie regnet, vollständig von der Auswirkung einer höheren Wahrscheinlichkeit eines anderen Szenarios isoliert. Wenn wir den Verbrauch über Szenarien hinweg fixieren und nur die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten, die beschreiben, was passieren kann, variieren lassen, können wir mit dem Formular für das VNM-Dienstprogramm die Auswirkungen verschiedener Wahrscheinlichkeiten über Szenarien hinweg isolieren und den Unterschied des Gesamtnutzens durch den Unterschied der Wahrscheinlichkeiten über Szenarien zwischen zwei Szenarien ausdrücken. Vergleichslotterien.
Der Grund, warum nur lineare Transformationen dieses Format beibehalten, ist, dass die VNM-Dienstform per Definition linear ist und nichtlineare Transformationen linearer Funktionen nicht linear sind. Dies hat aus meiner Sicht etwas mit Jensens Ungleichheit zu tun (so interpretiere ich das zumindest intuitiv ).
Ich hoffe das hilft!