Kalkül- und Indifferenzkurven in einem städtebaulichen Beispiel

Ich lese die Zeitung ' The Structure of Urban Equilibria ' von Jan Brueckner.

Es verwendet eine Monozentrik Stadtmodell, in dem alle Verbraucher Einkommen verdienen im Zentrum der Stadt. Sie kaufen Wohnungen für einen Preis in der Entfernung vom Zentrum, was Transportkosten .q p x t $y$$q$$p$$x$$tx$

Verbraucher haben eine Nutzenfunktion:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

wobei$\phi=x,y,t,u$

Die Budgetbeschränkung ist:

$c = y - tx - pq$

Die Tangentialitätsbedingung impliziert:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

wobei der Index 1 eine teilweise Differenzierung gegenüber dem ersten Argument usw. bezeichnet.

Das Papier diskutiert dann, wie und mit und variieren .q x , y , t $p$$q$$x, y, t$$u$

Wenn , bleiben wir auf der gleichen Indifferenzkurve. Ich finde es relativ einfach, und .∂ $\phi=x,y,t$ ∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Wenn die Steigung der einkommenskompensierten Nachfragekurve ist, dann ist .∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Nun, damit variieren kannst. Die Budgetbeschränkung schwingt aus, um eine neue Indifferenzkurve zu erfüllen, die das neue und .p $u$$p$$q$

Ich kann . Unterscheiden Sie die Utility-Funktion vollständig nach u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Da durch die Tangentialitätsbedingung :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Also .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

Das Papier zitiert dann:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Ich weiß nicht, wie ich das ableiten soll. Ich vermute, der erste Term in eckigen Klammern ist ein Substitutionseffekt und der zweite Term ist ein Einkommenseffekt.

Bitte helfen Sie mir, diesen letzten Ausdruck zu verstehen und wie man es ableitet.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$