Einheitliche Grenzen der Verschmelzungsrate für Bayesianische Lernende

Aktualisieren. Cross veröffentlicht bei Cross Validated .

In einem bekannten Aufsatz zeigen Blackwell & Dubins (1962), dass die hinteren Wahrscheinlichkeiten von zwei Bayes-Agenten, deren Prioritäten sich auf Ereignisse von Maß einigen , sich unter einem zunehmenden Informationsfluss willkürlich annähern werden. $0$

Mathematisch ist das Ergebnis wie folgt. Sei ein gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum mit . Lassen eine Wahrscheinlichkeit auf seine mit . Dann ist Wir sagen, dass und stark verschmelzen . $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_n\}, Q)$ $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}$ $P$ $(\Omega, \mathcal{F})$ $Q \ll P$

d (P^{n}, Q^{n}) := sup_{A \in F} | P (A ∣ F_{n}) - Q (A ∣ F_{n}) | \to 0 a.s. Q as n \to \infty .

$d(P^n, Q^n): = \sup_{A \in \mathcal{F}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

P

$P$

Q

$Q$

Kalai & Lehrer (1994) führen in einer neueren und ebenfalls sehr einflussreichen Arbeit den Begriff der schwachen Verschmelzung ein . Die Definition ist wie oben, mit der Ausnahme, dass Ereignisse mit endlichem Horizont übernommen werden; Schwanzereignisse werden ignoriert: $\sup$

w (P^{n}, Q^{n}) := sup_{A \in F_{n + 1}} | P (A ∣ F_{n}) - Q (A ∣ F_{n}) | \to 0 a.s. Q as n \to \infty .

$w(P^n, Q^n) : = \sup_{A \in \mathcal{F}_{n+1}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

Für eine schwache Verschmelzung ist es möglich, einheitliche Grenzen für die Konvergenzrate zu finden (Fudenberg & Levine, 1992; Sorin, 1999). Ich frage mich, ob es in dieser Richtung irgendwelche Ergebnisse für eine starke Verschmelzung gibt.

— Gemeinschaft
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Dies sollte auf Cross Validated oder Mathematics umgestellt werden. Es ist wahrscheinlicher, dass Personen in diesen Gremien über bestimmte Veröffentlichungen zu Funktionssequenzen informiert sind, die zu einer begrenzenden Funktion konvergieren. Die Antwort interessiert mich sehr, da sie mit einer Frage zusammenhängt, an der ich gerade arbeite. Mir ist keiner bekannt.

— Dave Harris

@ DaveHarris Leider scheinen die Leute an der MSE mit dieser Literatur nicht allzu vertraut zu sein. Ich habe schon früher Fragen zu Blackwell & Dubins gestellt. Sind Sie sicher, dass die Frage nicht hier gelassen werden sollte? Eine schwache Verschmelzung wird in Wirtschaftsjournalen von Ökonomen ausführlich diskutiert. Ich stimme allerdings zu, dass das Thema möglicherweise etwas technischer ist als die hier veröffentlichte Durchschnittsfrage.

Ich weiß es nicht. Es ist hier eine berechtigte Frage, ob es für diese Gruppe etwas esoterisch ist. Dafür gibt es ein enges Publikum. Zum Teil, weil es starke, implizite Annahmen über Informationen, Vorlieben und Anreize sowie das Leben eines Spiels gibt. Wir haben eine willkürlich große Stichprobe sowohl zur Entwicklung als auch zur Rundheit der Erde, doch diese Woche waren sowohl Ken Ham als auch der Cavalier der flachen Erde in den Nachrichten. Unendlichkeit ist eine lange Zeit.

— Dave Harris

In der Tat ist es eine lange Zeit. Und genau deshalb möchte ich die Verschmelzungsrate besser verstehen. Wie auch immer, ich denke, Ihr Vorschlag, bei Cross Validated zu posten, ist gut, und ich habe es geschafft. Ich vermute, dass dies ein offenes Problem ist, obwohl hoffentlich einige Hinweise auftauchen werden.

Dieser Artikel von Acemoglu, Chernozhukov und Yildiz (2016) und die darin enthaltenen Referenzen könnten von Interesse sein.

Die Ergebnisse, die sie erzielen, sind in einem viel engeren Umfeld, aber ich denke, sie zeigen immer noch in die Richtung, in die Sie schauen. Ansonsten sollte sich auch ihre Literaturrecherche als nützlich erweisen.

— Theoretischer Ökonom
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Entschuldigung für die kurze Antwort - dieses Thema ist für mich etwas weit entfernt. Ich vermute jedoch, dass es noch etwas hilfreich sein sollte.

— Theoretischer Ökonom

Danke dafür. Ich werde versuchen, es in den nächsten Tagen zu lesen und über relevante Ergebnisse zu berichten.

Toll; Lass es mich wissen. Ich bin auch neugierig. Und ich habe vielleicht zu früh darüber gesprochen, wie begrenzt ihre Ergebnisse sind - ein bisschen mehr Skimming deutet darauf hin, dass es näher an der Formulierung von Blackwell und Dubins liegt, als ich ursprünglich gedacht hatte.

— Theoretischer Ökonom

Nachdem sie sich das Modell, aber nicht alle Ergebnisse angesehen haben, scheinen sie an einem etwas anderen Phänomen interessiert zu sein, das sie informell auf S.193 erklären. Trotzdem scheint der Artikel interessant zu sein und ich werde wahrscheinlich weiterlesen.