Transversalitätsbedingung im neoklassischen Wachstumsmodell

Im neoklassischen Wachstumsmodell gibt es die folgende Transversalitätsbedingung:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ wobei

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ das Kapital in der Periode

t

$t$ .

Meine Fragen sind:

Wie leiten wir diesen Zustand her?
Warum brauchen wir das, wenn wir Wege ohne Schuldenakkumulation ausschließen wollen?
Warum sind die Lagrange-Multiplikatoren $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ der derzeitige diskontierte Wert des Kapitals?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
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Schauen Sie sich diese Antworten für die Unterscheidung zwischen der Transversalitätsoptimalitätsbedingung und der exogenen Solvabilitätsbeschränkung an : Economics.stackexchange.com/a/13681/61 und Economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos,

Ich habe versucht, die Intuition hinter der Transversalitätsbedingung in diesem Beitrag nicht mathematisch und im Klartext zu beschreiben: medium.com/@alexanderdouglas/… Ich bin jedoch kein Makroökonom, daher hätte ich es möglicherweise falsch verstanden. Wenn ja, hoffe ich, dass bald einige Antworten erscheinen.

— Alexander Douglas

Dies sollte ein Kommentar sein, da Sie nur einen Link zu externen Inhalten bereitstellen. Die Transverslaitätsbedingung hängt auch nicht von einer Annahme über die Erwartungsbildung ab, da sie selbst in deterministischen Modellen ohne Unsicherheit auferlegt wird. Und es bezieht sich nicht speziell auf Staatsschulden, sondern auf Vermögenswerte im Allgemeinen. Der grundlegende Punkt ist der folgende: Unter der Annahme, dass kein Vermächtnismotiv vorliegt (wir kümmern uns nicht um unsere Nachkommen oder die Gesellschaft), ist es suboptimal, nicht konsumierten Reichtum "zurückzulassen". Das ist alles dazu.

— Alecos Papadopoulos

WEITER Es ist ziemlich einfach mit einem endlichen Horizont, und wie es üblich ist, wenn der Horizont "unendlich" wird, wird es ein bisschen weniger einfach und selbstverständlich.

— Alecos Papadopoulos

Antworten:

Die Transversalitätsbedingung kann leichter verstanden werden, wenn wir von einem Problem mit dem endlichen Horizont ausgehen.

In der Standardausführung ist es unser Ziel zu Thema zu mit angegeben. Der zugehörige Lagrange (mit den Multiplikatoren , und ) ist Die FOCs sind

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ mit den komplementären Kuhn-Tucker-Schlaffheitsbedingungen: für , Da Ressourcenbeschränkung in allen Perioden verbindlich muss, dh für alle ist , folgt , dass in der letzten Periode , , .

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

Normalerweise nehmen wir für alle (die Inada-Bedingung), und dies impliziert für alle . Der Verbrauchs-FOC wird also zu $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Wenn wir die Bedingungen und in der letzten Periode , erhalten wir Wenn wir dies auf den unendlichen Horizont ausdehnen, erhalten wir die Transversalitätsbedingung $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

Die Intuition der Transversalitätsbedingung ist teilweise, dass "es in der letzten Periode keine Einsparungen gibt". Da es in einer Umgebung mit unendlichem Horizont keine "letzte Periode" gibt, nehmen wir die Grenze, wenn die Zeit bis ins Unendliche geht.

— Herr K.
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Meiner Meinung nach ist die beste Ableitung die Logik. Stellen Sie sich das so vor: Wenn das einzige, was wir dem Haushalt sagen, darin besteht, seinen Nutzen zu maximieren, würde ein optimales Verhalten nur unendliche Schulden machen und unendlich konsumieren. Dies ist keine vernünftige Lösung. Wir brauchen daher eine andere Optimalitätsbedingung. Dies sollte Frage 2 beantworten.

In einem endlichen Horizont würde die Machbarkeit dadurch erreicht, dass die Schulden bis zum letzten Zeitraum zurückgezahlt werden müssen. Dies ist in einer Einstellung mit unendlichem Horizont nicht möglich. Das "Ausschließen der Anhäufung von Schulden" ist jedoch, wie Sie meinen, eine zu strenge Bedingung (Die Transversalitätsbedingung erlaubt Schulden!).

Um Frage 3 zu beantworten, schauen wir uns den Begriff . Es steht für den (marginalen) Nutzengewinn (in Barwert-Utils), wenn Kapitaleinheiten in die Periode t verschoben und verbraucht werden. Wenn dieser Nutzengewinn im Unendlichen positiv wäre, könnten wir den Gesamtnutzen erhöhen, indem wir im "Unendlichen Zeitraum" mehr verbrauchen, daher wäre unser Kapitalweg nicht optimal. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

Zu Frage 1: Um diese Bedingung abzuleiten, können Sie entweder das gerade vorgebrachte logische Argument vorbringen, das zeigt, dass der Kapitalpfad ohne die Transversalitätsbedingung nicht optimal ist, oder Sie können für einen mathematischen Beweis beispielsweise Folgendes überprüfen: Per Krusells Notizen (obwohl es ziemlich schwer zu verstehen ist)

— Chris Krawatte
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