Sattelpfadgleichgewicht am Finanzmarkt mit rationalen Erwartungen

In seiner 1978 erschienenen Veröffentlichung zur Einführung der Tobin-Steuer führt Tobin aus:

Aus technischer Sicht wissen wir, dass ein rationales Erwartungsgleichgewicht auf Märkten dieser Art ein Sattelpunkt ist. Das heißt, es gibt nur einen singulären Weg, der vom Ungleichgewicht zum Gleichgewicht führt. Befinden sich die Märkte nicht auf diesem Weg oder springen sie nicht von überall dorthin, können sie einen von mehreren Wegen einschlagen, die aus dem Gleichgewicht herausführen - Wege, auf denen die Erwartungen im Durchschnitt dennoch erfüllt werden .

Er scheint dieses Ergebnis als allgemein bekannt unter den Ökonomen zu betrachten und gibt keinen Hinweis. Auf welches Ergebnis oder auf welches Papier bezieht er sich? Haben Sie eine Vorstellung davon, was er mit "Märkten dieser Art" meint?

Angenommen, Sie haben ein dynamisches System mit einem stationären Punkt (oder einem stationären Zustand, wie er in der Wachstums- oder RBC-Literatur verwendet wird), sagen wir x ∗ , dh x ∗ = A x ∗ .

Betrachten Sie nun die folgende Frage. Ausgehend von einem Anfangswert , wie viele Pfade führen zum stationären Punkt x ∗ ? Wenn es ein einzigartiger Weg aus gehen ist x 0 bis x * , dann wird Ihr Modell auch in dem Sinne , verhält sich , dass Sie den Vektor der Variablen verfolgen können, x t , entlang des Übergangs ohne sie Gedanken , welchen Weg Sie tatsächlich eingeschaltet sind. Dies ist der Fall der Sattelbahnstabilität, auf den Sie sich beziehen. Wenn die Antwort nicht positiv ist, bedeutet dies, dass Sie mindestens zwei Routen von x 0 nach x $x_0$$x^*$$x_{0}$$x^{*}$$x_t$$x_0$$x^{*}$. Es gibt noch einen anderen Fall: Egal wo Sie anfangen, irgendwann landen Sie am stationären Punkt . In diesem Fall gilt Ihr Modell als unbestimmt.$x^{*}$

Sie können sich die Sattelbahnstabilität als eine wünschenswerte Funktion vorstellen, die Ihr Modell manifestieren soll, um das vorliegende Problem zu analysieren. Beispielsweise besitzen alle Standard-RBC-Modelle diese Eigenschaft.

Es gibt einige mathematische Bedingungen, die die Stabilität der Sattelbahn gewährleisten.

Einzelheiten und weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 7.8 (Die Investition in die q-Theorie und die Stabilität des Sattelwegs) unter Einführung in das moderne Wirtschaftswachstum (Acemoglu, 2009).

Ok, ich werde versuchen, das Ramsey-Modell intuitiv zu erklären (aber es ist nicht streng). Nehmen wir an, dass Sie aus den Bedingungen erster Ordnung schließen können, dass das Gleichgewicht eindeutig ist, und dass Sie darüber hinaus den Verbrauch als Funktion des Kapitalstocks ausdrücken können, dh für eine (glatte) Funktion g . Wenn dies der Fall ist, wissen Sie für ein gegebenes Anfangskapital k 0 , wie sich die Wirtschaft entwickeln wird. Das heißt, wenn wir den Vektor der Variablen mit x t = ( c t , k t ) bezeichnen , wissen Sie { x $c_{t} = g(k_t)$$g$$k_0$$x_t = (c_t, k_t)$ ; da$\{ x_{t}\}_{t=0}^{\infty}$

$t=0: \quad$ ist gegeben und c 0 = g ( k 0 ) ,$k_0$$c_0 = g(k_0)$

$t=1: \quad$ und c 1 = g ( k 1 ) , (hier ist f die Produktionsfunktion und δ ist die Abschreibung)$k_1 = (1-\delta)k_0 + f(k_0) - c_0$$c_1 = g(k_1)$$f$$\delta$

$\vdots$

$t=\tau: \quad$ $k_{\tau} = (1-\delta)k_{\tau -1} + f(k_{\tau -1}) - c_{\tau -1}$$c_{\tau} = g(k_{\tau})$

bald ....

$x^*=(k^*, c^*)$$k_{\tau}$

Wo wird die Wirtschaft mit diesem neuen Grundkapital stehen?

$c_{\tau}=g(k_{\tau})$$x_{\tau}=(k_{\tau}, c_{\tau})$$x^*$$x_{\tau}$

Zum Schluss noch ein paar Anmerkungen zur Intuition hinter den mathematischen Bedingungen, die die Stabilität der Sattelbahn gewährleisten.

$c_t$$k_t$$k_t$$g: \mathcal{R} \to \mathcal{R}$

$x_{1}$$x^*$

Für genaue Aussagen (in einer allgemeinen Umgebung) siehe Acemoglu, wie ich zuvor erwähnt habe.

In Bezug auf rationale Erwartungen (RE): Es handelt sich um ein Lösungskonzept, und RE allein impliziert keine Sattelbahnstabilität.

Tatsächlich ist das Sattelweggleichgewicht eines der häufigsten Gleichgewichte in kanonischen Wachstumsmodellen, hauptsächlich bei dynamischen Optimierungsproblemen. Es ist möglich, dass er sich auf ein dezentrales Gleichgewicht ohne Zyklen um den stationären Zustand bezieht.

Ansonsten, wenn es Zyklen um ein stationäres Gleichgewicht gibt. Dies bedeutet, dass es Schwingungen gibt (siehe Unbestimmtheit und Verzweigungsprobleme für technische Details), was bedeutet, dass Ihr Gleichgewicht kein Sattelpfad ist. (Ich überspringe die mathematischen Details für diese Fachbegriffe, was über den Rahmen Ihrer Frage hinausgeht.)

In welcher Situation haben Sie kein Sattelweggleichgewicht und einige Zyklen im Steady State?

Eine dezentrale Marktwirtschaft mit Externalitäten, die von Marktakteuren nicht berücksichtigt werden, kann ein unbestimmtes Gleichgewicht aufweisen. Ich denke, er bezieht sich auf diese Art von Wirtschaft.

Ein sehr gutes und anschauliches Papier zur Beantwortung Ihrer Frage ist Benhabib and Farmer (1994).

Ich zitiere einen ihrer Sätze aus der Einleitung. Dann können Sie sich die zitierten Referenzen ansehen.

"... Frühere Arbeiten zu unbestimmten Gleichgewichten haben gezeigt, dass stabile Gleichgewichtszustände mit rationalen Erwartungsmodellen verbunden sind, in denen ein Kontinuum sich selbst erfüllender, glaubensgetriebener Gleichgewichte existiert, von denen jedes stationär ist ..."

Hoffe, es beantwortet Ihre Frage.