Konstante Rückgabe in einer Produktionsfunktion $ \ frac {Y} {L} = \ left (\ frac {K} {L} \ right) ^ {\ alpha} \ left (\ frac {R} {L} \ right) ^ {\ beta} $ ($ R $ = Ressource)

In seinem 1977 Artikel (aus der eine umfangreiche Literatur zur Hartwick-Regel zur Aufrechterhaltung eines langfristigen konstanten Verbrauchs bei Erschöpfung nicht erneuerbarer natürlicher Ressourcen hervorgegangen ist), verwendet Hartwick (auf S. 973) diese aggregierte Produktionsfunktion:

$$ x = k ^ {\ alpha} y ^ {\ beta} 1 ^ {\ gamma} $$

Hier (s. S. 972) ist $ x $ die Pro-Kopf-Produktion, $ k $ das reproduzierbare Pro-Kopf-Kapital und $ y $ der Pro-Kopf-Verbrauch einer erschöpfbaren Ressource. $ 1 $ ist nur die Nummer eins, da die Arbeit als konstant angenommen wird (daher scheint der Begriff $ 1 ^ {\ gamma} $ überflüssig zu sein). In vertrauterer Schreibweise (Ausgabe $ Y $, Kapital $ K $, Nutzung erschöpfbarer Ressourcen $ R $, Arbeit $ L $) und in der Beschreibung des Unterschieds zwischen Bevölkerung und Arbeit ist dies:

$$ \ frac {Y} {L} = \ left (\ frac {K} {L} \ right) ^ {\ alpha} \ left (\ frac {R} {L} \ right) ^ {\ beta} $ $

Hartwick geht dann davon aus (p 972), dass die Konstante in der Form (explizit auf p 973) $ \ alpha + \ beta = 1 $ skaliert.

Frage : Welche Gründe könnten die Annahme einer konstanten Rendite in der obigen Form rechtfertigen? Ist es nicht plausibler, konstante Renditen anzunehmen, wenn alles Faktoren werden erhöht, dh in einer Produktionsfunktion der Form $ \ alpha + \ beta + \ gamma = 1 $ anzunehmen:

$$ Y = K ^ {\ alpha} R ^ {\ beta} L ^ {\ gamma} $$ Dies impliziert die obige Funktion, da:

$$ \ frac {Y} {L} = \ frac {K ^ {\ alpha} R ^ {\ beta} L ^ {\ gamma}} {L ^ {\ alpha} L ^ {\ beta} L ^ {\ gamma}} = \ left (\ frac {K} {L} \ right) ^ {\ alpha} \ left (\ frac {R} {L} \ right) ^ {\ beta} $$

Bei $ \ gamma & gt; 0 $ ist dies jedoch inkonsistent mit $ \ alpha + \ beta = 1 $: stattdessen $ \ alpha + \ beta & lt; 1 $.

production-function resource-economics

— Adam Bailey
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Wenn Sie überall durch $ L $ dividieren, benötigen Sie weder $ \ alpha + \ beta = 1 $ noch $ \ alpha + \ beta + \ gamma = 1 $, um konstante Skalenerträge zu erzielen. Diese Summierung auf $ 1 $, um konstante Skalenerträge zu erhalten, spielt nur dann eine Rolle, wenn Ihr Ausdruck etwa $ Y = K ^ {\ alpha} R ^ {\ beta} L ^ {\ gamma} $ ist

— Henry

@Henry Ist Ihr Standpunkt einfach, dass, wenn $ K $, $ R $ und $ L $ alle um den gleichen Anteil steigen, $ K / L $ und $ R / L $ unverändert bleiben, also auch $ Y / L $ unverändert? Oder steckt noch mehr dahinter?

— Adam Bailey

Adam: Das ist genau mein Punkt, da $ Y $, das um den gleichen Anteil ansteigt wie $ K $, $ R $ und $ L $, die Definition von konstanten Skalenerträgen ist

— Henry

Ziel des vorliegenden Papiers ist es, die "Investitionsregel" zu untersuchen / aufzuzeigen, die zu "intergenerationaler Gerechtigkeit" führt, was sich bei konstanter Bevölkerung in konstantem Konsum niederschlägt.

Die zu prüfende Anlageregel lautet (letzte Zeile von S. 973) "alles netto anlegen" kehrt zurück aus erschöpfbaren Ressourcen in reproduzierbarem Kapital "(und verbrauchen den Rest).

Zuvor war Gl. $ (1) $ des Papiers (das Gesetz der Kapitalakkumulation) sagt uns das brutto Rückkehr zu erschöpfbaren Ressourcen gleich $ f_yy $: Dies impliziert, dass wir davon ausgehen, dass die Rückkehr pro Einheit erschöpfbarer Ressourcen gleich sein Grenzprodukt .

Dies impliziert jedoch wiederum die Preisgestaltung und die Existenz von Märkten. Es muss also auch einen Markt für Kapital geben. Wenn der Kapitalmarkt auch durch eine marginale Preisbildung gekennzeichnet ist, dann nehmen wir an, dass die Produktionsfunktion eine abnehmende Skalenrendite in Bezug auf Kapital und erschöpfbare Ressourcen ($ \ alpha + \ beta & lt; 1 $) aufweist

$$ f_kk + f_yy & lt; x $$

und ein Teil der Produktion wäre unberücksichtigt geblieben.

Der Autor geht daher von konstanten Skalenerträgen in diesen beiden Fällen aus, damit er auch von wettbewerbsfähigen Märkten und Grenzpreisen ausgehen und die Pro-Kopf-Produktion als Belohnung für diese Inputs ausschöpfen kann.

Dies wirft natürlich die Frage auf: Was passiert mit dem Arbeitsmarkt? Nun, wir können mit Mord davonkommen, indem wir die folgende Annahme machen: Es gibt keine Wahlmöglichkeit für Freizeitarbeiter, Arbeitskräfte werden unelastisch angeboten, und außerdem Es gibt keinen Markt für Arbeit es wird den anderen Produktionsfaktoren zugeordnet, d. h. es wird zusammen mit ihnen angeboten und es wird nicht separat bezahlt: Denken Sie an Kapitalbesitzer, die auch in ihrem Geschäft arbeiten, ohne selbst einen Lohn zu zahlen.

Dies bedeutet natürlich, dass die Formulierung mit Einheitsarbeit und einem irrelevanten Exponenten $ \ gamma $ schlampig und problematisch ist, abwesend sein sollte (dies würde das Papier nicht beeinflussen) und zu Recht zur Frage des OP führte.

— Alecos Papadopoulos
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