Marktgleichgewicht und Pareto-Effizienz

Wie kann ich beweisen, dass der Gleichgewichtspunkt $ D (p) = S (p) $ paretoeffizient ist?

Die Definition von paretoeffizient: Es gibt keine Möglichkeit, eine Person zu verbessern, ohne eine andere Person zu verletzen

$ D (p) $ ist die Marktnachfragekurve und $ S (p) $ ist die Marktangebotskurve

Ich arbeite mit Hal Varian Intermediate Microeconomics und er beweist, dass jeder Betrag, der unter dem Gleichgewichtsbetrag liegt, nicht paretoeffizient sein kann:

Bei jeder Produktionsmenge, die unter der wettbewerbsfähigen Menge liegt, gibt es jemanden, der bereit ist, eine zusätzliche Einheit der Ware zu einem Preis zu liefern, der unter dem Preis liegt, den jemand bereit ist, für eine zusätzliche Einheit der Ware zu zahlen gut. Wenn die Ware zwischen diesen beiden Personen zu irgendeinem Preis zwischen dem Nachfragepreis und dem Angebotspreis hergestellt und ausgetauscht würde, würde es beiden besser gehen. Daher kann jede Menge, die unter der Gleichgewichtsmenge liegt, nicht paretoeffizient sein, da es mindestens zwei Personen geben wird, denen es besser gehen könnte

Es fällt mir jedoch schwer zu beweisen, dass der Gleichgewichtspunkt paretoeffizient ist

Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir bei diesem Problem helfen können. Alle Kommentare oder Vorschläge würden sehr geschätzt

Eine grobe Richtlinie:

Sie kennen den ersten Fall bereits. Bei $ q & lt; q_c $ (wettbewerbsfähige Menge) haben wir

$$ S (p) & gt; S (p_c) = D (p_c) & gt; D (p) $$

Dies setzt voraus, dass Sie "normale" (monotone) Annahmen über die Angebots- und Nachfragekurven haben, die für diesen Beweis ziemlich wichtig sind. Beachten Sie, dass $ S (p) = q_s; D (p) = q_d $ und in diesem Fall $ q = q_s & lt; q_d $, das heißt, es gibt einen Mangel. Zu jedem höheren Preis $ p_0 \ in (p, p_c] $ gibt es eine Pareto-Verbesserung. Ein neuer Verkäufer wird zu diesem höheren Preis verkaufen und es wird einen Käufer geben, der bereit ist, ihn noch zu kaufen.

Der andere Fall ist analog. Bei $ q & gt; q_c $, jetzt

$$ D (p) & gt; D (p_c) = S (p_c) & gt; S (p) $$

Sie können ein ähnliches Argument wie bei Varian verwenden. Zu jedem niedrigeren Preis wird es einen Käufer geben, der bereit ist, die Ware zu kaufen, und einen Verkäufer, der immer noch bereit ist, die Ware zu liefern.