Überlappende Gerichtsbarkeiten Modell: Beweis von Lemma 1; Die Größe der Nationen

Ich habe das Buch 'The Size of Nations' von Alberto Alesina und Enrico Spolaore gelesen (kann im Internet gefunden werden, wenn Sie wissen, wo Sie suchen müssen), und ich habe Probleme, ihrem "Beweis" des ersten Lemmas für das zu folgen Modell überlappender Gerichtsbarkeiten. Erstens erkläre ich das Modell und das Lemma, zweitens werde ich ihren Beweis liefern und schließlich meinen (unvollständigen) Versuch, den Beweis des Lemmas mit den Fragen zu erbringen, die ich habe. Ein ähnliches Modell finden Sie in einem Artikel von Spolaroe hier: https://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic107502.files/Alesina_and_Spolaore.On_the_Number_and_Size_of_Nations.pdf (nicht erforderlich)

Das Model

In dem Modell ist die 'Welt' ein lineares Längensegment, das auf 1 normiert ist. Es gibt auch eine Masse von "identischen" Individuen (außer an Ort und Stelle, damit wir ihre Dienstprogramme addieren können) 1, die gleichmäßig über das Segment verteilt sind (ein Individuum) in jedem Punkt des Segments). Es gibt $M$ öffentliche Güter, indexiert von $j = 1,2,...,M_{j}$ Jedes Gut ist in einem Kontinuum von Typen erhältlich. Wenn gut $j$ befindet sich am Punkt $w ∈ (0,1)$ entlang des Segments nennen wir die Art des Gutes $j$ eine Art $w$ gut (Hinweis: Dies ist kein anderes Gut, es ist eine andere Art des gleichen Gutes). Gerichtsbarkeiten bieten öffentliche Güter. Eine Gerichtsbarkeit für die $jth$ Das öffentliche Gut wird durch drei Punkte im Segment definiert: Zum Beispiel: $A$ , $B$ , und $C$ mit $A < B < C$ . Der Mittelpunkt $B$ gibt an, wo sich das öffentliche Gut befindet; Die anderen beiden sind die Grenzen der Gerichtsbarkeit. Eine Gerichtsbarkeit, die öffentliches Gut bietet $j$ ist definiert als $j$ Gerichtsstand. Es gibt auch keine externen Effekte.

Der Nutzen der $i$ Das Individuum wird bezeichnet mit:

u_{i} = y - t_{i} + g - \sum_{j = 1}^{M} a_{j} * l_{i j}

$u_{i} = y - t_{i} + g - \sum_{j=1}^{M} a_{j}*l_{ij}$

y

$y$ im Bruttoeinkommen des Einzelnen,

g

$g$ der aus öffentlichen Gütern abgeleitete Maximalwert für eine Person, die alle ihre beliebtesten Typen genießt. Lassen

t_{i}

$t_{i}$ bezeichnen Steuern, die von der

i

$i$ th Person. Alessina und Spolaore setzen

g

$g$ = 0 der Einfachheit halber ohne Verlust der Allgemeinheit (wir können dasselbe für tun

y

$y$ da es ein exogener Parameter ist).

l_{i j}

$l_{ij}$ bezeichnet den Abstand von der

i

$i$ th Person an die

j

$j$ Das Gemeinwohl.

a_{j}

$a_{j}$ ist ein positiver Parameter, der die Grenzkosten der Entfernung misst. Jeder

j

$j$ Gesamtkosten des öffentlichen Gutes

c_{j}

$c_{j}$ in einer bestimmten Gerichtsbarkeit ist gegeben durch: wobei die Größe der Gerichtsbarkeit ist, feste Kosten sind, die unabhängig von der Größe der Gerichtsbarkeit sind, und ist ein positiver Parameter (Grenzkosten der Größe). Die Gesamtsteuern in einer Gerichtsbarkeit auf Ebene mit Grenzen bei und müssen gleich (ausgeglichenes Budget) sein: Daher ist die Summe aller Dienstprogramme gegeben durch: wobei

c_{j} = k_{j} + γ_{j} * s,

$c_{j} = k_{j} + γ_{j}*s,$

s

$s$

k_{j}

$k_{j}$

γ_{j}

$γ_{j}$

j

$j$

A

$A$

C

$C$

c_{j}

$c_{j}$

\int_{A}^{C} t_{i} d i = c_{j} .

$\int_{A}^{C} t_{i} di = c_{j}.$

\int_{0}^{1} u_{i} d i = y - \sum_{j = 1}^{M} (k_{j} * N_{j} + \sum_{x = 1}^{N_{j}} γ_{j} * s_{j x} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{i j} d i)

$\int_{0}^{1} u_{i} di = y - \sum_{j=1}^{M} \left ( k_{j} * N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} * s_{jx} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{ij} di \right )$

N_{j}

$N_{j}$ ist die Anzahl der Gerichtsbarkeiten auf und ist die Größe einer Gerichtsbarkeit auf Ebene für . Betrachten Sie das Problem eines utilitaristischen Sozialplaners, der die Summe der wie oben definierten einzelnen Versorgungsunternehmen maximieren möchte.

j

$j$

s_{j x}

$s_{jx}$

j

$j$

x

$x$

x = 1, 2, . . ., N_{j}

$x = 1,2,...,N_{j}$

Lemma

Für jedes öffentliche Gut unterteilt der Sozialplaner die Welt in Gerichtsbarkeiten gleicher Größe und lokalisiert in der Mitte jeder Gerichtsbarkeit ein öffentliches Gut . Nj ist die Ganzzahl in der Nähe von: $j$ $N_{j}$ $s_{j} = 1/N_{j}$ $j$

\sqrt{a_{j} / 4 k_{j}}

$\sqrt{a_{j}/4k_{j}}$

Alesina und Spolaroes "Beweis" des Lemmas (2.1 im Buch)

Die Summe der zu maximierenden Dienstprogramme wird durch [die Autoren haben eine Notation ] angegeben: Für das Gemeinwohl und für eine bestimmte Anzahl von Gerichtsbarkeiten gilt die Die Summe der Entfernungen wird minimiert, wenn sich das öffentliche Gut in der Mitte jeder Gerichtsbarkeit befindet. Daher wird die Summe der Entfernungen als , wobei Die Summe der Quadrate wird minimiert, indem Gerichtsbarkeiten gleicher Größe ausgewählt werden, . Daher die Lösung für jedes

\int_{0}^{1} u_{i} d i = y - γ - \sum_{j = 1}^{M} [k_{j} * N_{j} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{j i}]

$\int_{0}^{1} u_{i} di = y − γ −\sum_{j=1}^{M} \left [k_{j}*N_{j} + a_{j} *\int_{0}^{1} l_{ji} \right ]$

j

$j$

N_{j}

$N_{j}$

\int_{0}^{1} l_{j i}

$\int_{0}^{1}l_{ji}$

\int_{0}^{1} l_{j i} = \sum_{x = 1}^{N_{j}} s_{x j}^{2} / 4

$\int_{0}^{1}l_{ji} = \sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj}^{2}/4$

\sum_{x = 1}^{N_{j}} s_{x j} = 1

$\sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj} = 1$

s_{j} = 1 / N_{j} j

$s_{j} = 1/N_{j}j$

N_{j}

$N_{j}$ ist die positive ganze Zahl, die löst: Die Bedingung erster Ordnung für ( Das Ignorieren der Einschränkung, dass eine ganze Zahl sein muss, impliziert :

m i n_{N_{j}} : k_{j} * N_{j} + \frac{a_{j}}{4 N_{j}}

$min_{N_{j}}: k_{j}*N_{j} + \frac{a_{j}}{4N_{j}}$

N_{j}

$N_{j}$

N_{j}

$N_{j}$

N_{j}^{*} = \sqrt{\frac{a_{j}}{4 k_{j}}}

$N_{j}^{*} = \sqrt{\frac{a_{j}}{4k_{j}}}$

Mein Versuch

Ich beginne mit: Vergessen wir jetzt, dass es public gibt Waren (da sie nicht miteinander interagieren, sind sie unabhängig, so dass eine allgemeine Lösung für ein -öffentliches Gut sie auf öffentliche Güter anwenden kann ). Wir können ohne Verlust der Allgemeinheit auf 0 setzen. Aus diesem Grund wird das Problem des utilitaristischen Sozialplaners:

\int_{0}^{1} u_{i} d i = y - \sum_{j = 1}^{M} (k_{j} * N_{j} + \sum_{x = 1}^{N_{j}} γ_{j} * s_{j x} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{i j} d i)

$\int_{0}^{1} u_{i} di = y - \sum_{j=1}^{M} \left ( k_{j} * N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} * s_{jx} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{ij} di \right )$

M

$M$

j

$j$

M

$M$

y

$y$

m i n : k_{j} * N_{j} + \sum_{x = 1}^{N_{j}} γ_{j} * s_{j x} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{i j} d i

$min: k_{j} * N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} * s_{jx} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{ij} di$

j

$j$ -Stufen-Gerichtsbarkeiten überschneiden sich nicht (nur mit anderen Ebenen), da eine Person immer auf der Ebene sein möchte, um die verfügbare Gerichtsbarkeit zu schließen, gibt es keine Vorteile, wenn sie sich in mehr als einer Gerichtsbarkeit derselben Ebene befindet ( fest und auf 0 gesetzt), aber es gibt Kosten für größere Gerichtsbarkeiten, so dass der utilitaristische Sozialplaner niemals Gerichtsbarkeiten auf Ebene entwerfen wird , die sich überlappen. Gerichtsbarkeiten auf Ebene besetzen auch das gesamte Segment, da alle Personen Zugang zu jedem öffentlichen Gut haben müssen (also ja, seien Sie kein Troll, der sagt, dass die Größe und Anzahl der optimalen Gerichtsbarkeiten 0 ist, da die Autoren zuvor setze auf 0). All dies impliziert Folgendes:

j

$j$

g

$g$

j

$j$

j

$j$

g

$g$

\sum_{x = 1}^{N_{j}} s_{x j} = 1

$\sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj} = 1$ , so dass das Problem des utilitaristischen Sozialplaners zusammenbricht (ich behalte die Indizes für die Allgemeinheit und setze auf 0, da es gegeben ist Parameter, der von keiner Auswahlvariablen beeinflusst wird): Ich stecke hier fest, also ich habe 3 Fragen:

j

$j$

γ_{j}

$\gamma_{j}$

m i n : k_{j} * N_{j} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{i j} d i

$min: k_{j} * N_{j} + a_{j} * \int_{0}^{1} l_{ij} di$

Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen, dass die Summe der Entfernungen minimiert wird, wenn sich das öffentliche Gut in der Mitte jeder Gerichtsbarkeit befindet? Ich verstehe die Logik, aber ich weiß nicht, wie ich den Beweis bekommen soll. $\int_{0}^{1} l_{ji}$
Warum ? $\int_{0}^{1} l_{ji} = \sum_{x=1}^{N_{j}} s_{xj}^{2}/4$
Warum wird die Summe der Quadrate minimiert, indem Gerichtsbarkeiten gleicher Größe gewählt werden, ? (Beweis wäre hilfreich, da ich irgendwie die Intuition bekomme, warum es so sein sollte, aber ich bin nicht sicher). $s_{j} = 1/N_{j}$

microeconomics optimization

— Dogen
quelle

Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen, dass die Summe der Entfernungen minimiert wird, wenn sich das öffentliche Gut in der Mitte jeder Gerichtsbarkeit befindet? $\int_{0}^{1} l_{ji}di$

Uns wird gesagt, "es gibt keine externen Effekte" - so genießt jeder Einzelne nur das öffentliche Gut, das in seiner eigenen Gerichtsbarkeit angeboten wird.

Dies bedeutet jedoch, dass wir zur Bestimmung der optimalen Position des öffentlichen Gutes in jeder Gerichtsbarkeit zunächst eine einzige Gerichtsbarkeit in Betracht ziehen können . Dann haben wir für diese Untergruppe von Individuen

i \in [A, C] : \int_{A}^{C} l_{j i} d i = \int_{A}^{C} | i - w_{j} | d i = \int_{A}^{w_{j}} (w_{j} - i) d i + \int_{w_{j}}^{C} (i - w_{j}) d i

$i \in [A,C] : \int_{A}^{C} l_{ji}di=\int_{A}^{C} |i-w_j|di = \int_{A}^{w_j} (w_j-i)di + \int_{w_j}^{C} (i-w_j)di$

Durch diese Integration erhalten wir

i \in [A, C] : \int_{A}^{C} l_{j i} d i = w_{j}^{2} - (A + C) w_{j} + \frac{1}{2} (A^{2} + C^{2})

$i \in [A,C] : \int_{A}^{C} l_{ji}di= w_j^2 - (A+C)w_j+\frac 12 (A^2+C^2)$

Minimieren gibt dies

w_{j}^{*} = \frac{A + C}{2}

$w^*_j = \frac {A+C}{2}$

Dies ist jedoch der Mittelpunkt des Intervalls, und und mit Ausnahme von beliebig . Wir kommen daher zu dem Schluss, dass sich das Gemeinwohl in der Mitte jeder Gerichtsbarkeit befinden muss. $A$ $C$ $A < C$

Warum ? $\int_{0}^{1} l_{ji}di = \sum_{x=1}^{N_{j}} s_{xj}^{2}/4$

Mit dem vorherigen Ergebnis haben wir das

i \in [A, C] : min \int_{A}^{C} l_{j i} d i = {(\frac{A + C}{2})}^{2} - \frac{(A + C)^{2}}{2} + \frac{1}{2} (A^{2} + C^{2})

$i \in [A,C] : \min \int_{A}^{C} l_{ji}di= \left(\frac {A+C}{2}\right)^2 - \frac{(A+C)^2}{2}+\frac 12 (A^2+C^2)$

. . . ⟹ i \in [A, C] : min \int_{A}^{C} l_{j i} d i = \frac{(A - C)^{2}}{4} = \frac{(C - A)^{2}}{4}

$...\implies i \in [A,C] : \min \int_{A}^{C} l_{ji}di = \frac {(A-C)^2}{4} = \frac {(C-A)^2}{4}$

Der Zähler ist jedoch die quadratische Länge dieser Gerichtsbarkeit. Uns wird auch gesagt, dass jedes öffentliche Gut in jeder Gerichtsbarkeit angeboten werden muss und dass alle Gerichtsbarkeiten das gesamte Intervall abdecken müssen, ohne sich zu überschneiden (für die Ebene, die wir untersuchen). Dies impliziert, dass wir für das gesamte einheitliche Intervall erhalten $j$

min \int_{0}^{1} l_{j i} d i = \sum_{x = 1}^{N_{j}} s_{x j}^{2} / 4

$\min \int_{0}^{1} l_{ji}di = \sum_{x=1}^{N_{j}} s_{xj}^{2}/4$

Es ist also die Gesamtentfernung nach der Optimierung für den Standort des öffentlichen Gutes in jeder Gerichtsbarkeit.

Schließlich,

Warum die Summe der Quadrate durch Auswahl gleich großer Gerichtsbarkeiten minimiert wird, $s_{j} = 1/N_{j}$

In der allgemeinen Notation möchten Sie $\min \sum_{i=1}^n z^2_i \;\;\;\; s.t. \sum_i^nz_i=1$

Der Lagrange ist $\Lambda = \sum_{i=1}^n z^2_i -\lambda \left(\sum_i^nz_i-1\right)$

und wir haben Bedingungen erster Ordnung $n$ $2z_i - \lambda = 0 \implies z_i = 2/\lambda,\;\;\;i=1,...,n$

Dies bedeutet aber, dass $z_1=z_2=...=z_n=z^*$

Die Lösung muss die Einschränkung berücksichtigen, damit $\implies \sum_i^nz_i = nz^*=1\implies z^*=1/n$

— Alecos Papadopoulos
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