Müssen sich in der CES-Dienstprogrammfunktion die Parameter zu Eins addieren, um die Cobb-Douglas-Dienstprogrammfunktion zu erhalten?

Betrachten Sie die CES-Dienstprogrammfunktion

U (X, y) = (ein X^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}}

$U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$

Ist es wahr, dass wir müssen, um eine Cobb-Douglas-Utility-Funktion als ? $a+b=1$ $c\rightarrow 0$

microeconomics mathematical-economics cobb-douglas

— Alecos Papadopoulos
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Mögliches Duplikat von Wie lautet die Grenze von

wenn c gegen 0 geht, ergibt sich die Cobb-Douglas-Utlity-Funktion?

U (x, y) = (a x^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}}

$U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$

— Oliv

@Oliv Dieser Thread ist sicherlich eine Variante des Threads, den du erwähnt hast, und meine ursprüngliche Absicht war es, dort eine Antwort zu posten, um die Notwendigkeit von

noch deutlicher zu machen . Der Grund, warum ich ein Selbst-Q & A erstellen musste, war, dass die von Ihnen erwähnte Frage geschlossen wurde und keine neuen Antworten vom System akzeptiert wurden.

a + b = 1

$a+b=1$

— Alecos Papadopoulos

Mögliches Duplikat von Wie kann ich die Produktionsfunktion von Leontief und Cobb-Douglas von der CES-Funktion beziehen?

— FooBar

Ja.

Schreiben

\begin{matrix} (1) & U (X, y) = (ein X^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}} = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (ein X^{- c} + b y^{- c})} \end{matrix}

$U(x,y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}} = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)\right\} \tag{1}$

Nun , wenn dann als , Ausdruck $a+b=1$ $c\rightarrow 0$

\begin{matrix} (2) & \frac{\ln (ein X^{- c} + b y^{- c})}{- c} \end{matrix}

$\frac {\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)}{-c} \tag{2}$

wird eine unbestimmte Form und so können wir L'Hopital der Regel gilt darauf zu bekommen $0/0$

\frac{1}{- c} \cdot \frac{- ein X^{- c} \ln X + b y^{- c} \ln y}{ein X^{- c} - b y^{- c}} \to \frac{ein}{ein + b} \ln X + \frac{b}{ein + b} \ln y, c \to 0

$\frac {1}{-c}\cdot \frac {-ax^{-c}\ln x + by^{-c}\ln y}{ax^{-c} - by^{-c}} \rightarrow \frac {a}{a+b}\ln x + \frac {b}{a+b}\ln y,\;\;\; c\rightarrow 0$

$a+b=1$

Also (durch die gleichmäßige Kontinuität der Exponentialfunktion)

c \to 0, U (X, y) = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (ein X^{- c} + b y^{- c})} \to \exp {ein \ln X + b \ln y} = X^{ein} y^{b}

$c\rightarrow 0,\;\;\; U(x,y) = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c} \right) \right\} \rightarrow \exp\left\{a\ln x + b\ln y \right \} = x^ay^b$

$a+b\neq 1$ $c\rightarrow 0$ $(2)$ $(2)$ $a+b=1$

— Alecos Papadopoulos
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