Moral Hazard mit risikoneutralem Mittel

Wir haben ein Prinzipal-Agent-Modell mit versteckten Aktionen, bei denen der Prinzipal risikoavers und der Agent risikoneutral ist. Angenommen, es gibt auch zwei Ausgabeebenen, $x$ und $x'$ (mit $x'>x$ ) und zwei Aktionen $a,a'$ . Definieren $p(a),p(a')$ die Wahrscheinlichkeiten von $x'$ unter Aktionen $a,a'$ verbunden. Auch die Disutilität des Agenten von der Aktion $a'$ ist $-1$ . Die mit verbundenen Löhne $x,x'$ sind jeweils $w,w'$ .

Mein Problem ist, dass ich nicht sicher bin, wie ich zeigen soll, dass der optimale Vertrag erfordert $x'-w' =x-w$ , dh dass der Agent, der risikoneutral ist, alle mit dem Projekt verbundenen Schwankungen übernimmt.

Ich formalisiere das Problem (nehme an, der Auftraggeber möchte induzieren $a'$ , sonst ist meine Frage trivial)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

Insbesondere wenn ich versuche, das Problem zu lösen, indem ich die erwartete Hauptauszahlung maximiere, vorbehaltlich der "Standard" -Einschränkungen für individuelle Rationalität (mit Multiplikator) und Anreizkompatibilität (mit Multiplikator) (ich gehe davon aus, dass der Kapitalgeber an mehr interessiert ist kostspielige Aktion ) Ich erhalte zwei Gleichungen, die nicht mit dem oben genannten Ergebnis übereinstimmen. Bestimmtes: $\lambda$ $\mu$ $a'$

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Es ist offensichtlich, dass gilt, wenn was bei diesem Problem nicht der Fall ist (hier haben wir ). Eine andere Möglichkeit wäre anzunehmen, dass die Incentive-Kompatibilitätsbeschränkung locker ist (daher ); aber ich kann nicht verstehen , warum das sollte halten, wenn die Haupt will die kostspieligste Aktion induzieren (Hilfe hier) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

Ich habe online gelesen, dass ein anderer Ansatz darin besteht, anzunehmen, dass der Auftraggeber das Projekt an den Agenten "verkauft" und der Agent, nachdem er ausgewählt hat, welcher Aufwand seinen erwarteten Nutzen maximiert, dem Auftraggeber einen festen Betrag zurückzahlt (nennen Sie es ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Wir hätten also so etwas wie:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ wenn der Agent hohe Anstrengungen unternimmt und sonst. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Aber wie geht es dann weiter? Wie kann sichergestellt werden, dass der Agent die Aktion auswählt? Wie werden die festen Beträge ermittelt? Warum sind sie optimal? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
quelle

Ein Hinweis: In Anbetracht Ihres Setups ist nicht unbedingt die effiziente Aktion, und daher möchte der Principal sie nicht unbedingt induzieren. Möchten Sie, dass die Leute davon ausgehen, dass dies der Fall ist?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@Shane Dies wird in der Frage angegeben: "Angenommen, der Schulleiter möchte " induzieren

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp Das stimmt, aber es ist immer noch wichtig zu wissen , ob oder ob nicht wirklich effizient ist, weil die risikoneutrale Mittel gegeben wird optimal das Projekt an die Agenten zu verkaufen sein , egal was, sondern nur induziert wenn es effizient ist. Wenn nicht effizient ist, der Auftraggeber sie jedoch trotzdem induzieren möchte, verschwimmt der gesamte Begriff der optimalen Verträge - wir würden den optimalen Vertrag aus einer Reihe von Verträgen finden, die eine suboptimale Auswahl induzieren.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

Der Auftraggeber kann lediglich eine Zahlung leisten, um einen Betrag zu veranlassen, der auf dem Nutzen basiert, den der Auftraggeber aus dieser Aktion erhält.

— DJ Sims

Können "Löhne" negativ oder null sein?

— Alecos Papadopoulos

Antworten:

Diese Antwort zeigt drei Dinge:

Wir brauchen den Lagrange-Ansatz nicht, um Ihr Maximierungsproblem zu lösen.
Wir brauchen auch nicht die Annahme, dass . $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
Die Bedingung ist für den optimalen Vertrag nicht unbedingt erfüllt. $x'-w'=x-w$

Fix in der Tat die Zahlung . Das Problem kann geschrieben werden Berücksichtigung der Einschränkungen Es ist klar, dass der Principal Interesse hat, den niedrigstmöglichen Wert für angesichts dieser Menge von Einschränkungen festzulegen, da die Zielfunktion in abnimmt . Daher setzt er $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Wie bei @Alecos_Papadopoulos ist es sinnvoll anzunehmen, dass der Agent durch eine beschränkte Haftung geschützt ist, dh dass seine Zahlungen nicht negativ sind. Andernfalls hat das Problem nicht unbedingt eine Lösung: Das Prinzip könnte immer davon profitieren, verringern und erhöhen , um die individuelle Rationalitätsbeschränkung zu erfüllen. Aber der Vertrag ist offensichtlich keine zufriedenstellende Lösung. Deshalb beschränke ich mich auf den Fall, in dem und . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

Die Bedingung impliziert und daher $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Wenn Sie diese Gleichung in die Zielfunktion einfügen, wird das Problem des Prinzipals

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Diese Zielfunktion nimmt in . Deshalb setzt er einfach und . Als Schlussfolgerung hat die Gleichheit keinen Grund, erfüllt zu sein, es sei denn, man nimmt an, dass , dh dass Diese letztere Gleichung bedeutet, dass der aus resultierende soziale Überschuss gleich dem aus resultierenden Überschuss ist

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : Es ist ein ganz besonderer Fall, in dem die Aufwandskosten für den Agenten genau durch die Erhöhung der erwarteten Leistung für den Auftraggeber kompensiert werden. In allen anderen Fällen haben wir .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Ich denke, der Grund, warum der Agent nicht das gesamte Risiko übernimmt, liegt darin, dass seine Handlungen nicht beobachtbar und daher nicht vertraglich vereinbar sind. Diese Eigenschaft würde in einer Wirtschaft mit Risikoteilung mit uneingeschränkten Allokationen zutreffen. Die Zuordnung wird hier jedoch durch die Notwendigkeit verzerrt, den Agenten zu motivieren, einen hohen Aufwand zu betreiben.

— Oliv
quelle

(+1) Das ist ein guter Ansatz, ich mag es einfach, mit einfachen Problemen formal zu sein. Ein letztes Problem bei der Einrichtung des OP: Da willkürlich ist, garantiert nichts, dass .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

Ich denke nicht, dass "der Schulleiter immer davon profitieren könnte, verringern und erhöhen , um die individuelle Rationalitätsbeschränkung zu erfüllen." ist wahr. Ich meine, es gibt Fälle, in denen Sie nicht gleichzeitig davon profitieren und die Teilnahmebeschränkung erfüllen können.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp Ich denke, es ist wahr. Nehmen Sie negativ und klein genug und , um beide Bedingungen zu erfüllen. Die Zielfunktion des Principals ist und diese Funktion nimmt in streng ab , wenn klein genug ist. Daher kann das Haupt besser immer durch Absenken und Einstellen : keine finite soution ist optimal.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Oliv

@ Alecos Papadopoulos danke. Warum möchten Sie garantieren, dass ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Oliv

@Oliv Wenn , ist der Nettoumsatz für den Kapitalbetrag negativ, wenn auftritt, während er positiv ist, wenn auftritt (mit ). Selbst wenn , befinden wir uns in einer Situation, in der der Principal die Aktion induzieren möchte , obwohl der bedingte Nutzen geringer ist, wenn auftritt. Dies würde eine umfassendere Behandlung erfordern, um festzustellen, was hier wirklich optimal ist. Natürlich können wir das Problem so akzeptieren, wie es ist, wobei alle seine Annahmen als Ad-hoc-Gegebenheiten angesehen werden, aber ich bevorzuge Probleme, die der Intuition nur dann entgegenwirken, wenn sie am Ende aufschlussreich erklären können, warum.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

Eine Sache, die mich hier stört, ist die folgende: Die Incentive-Kompatibilitätsbeschränkung ist

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... da unter der Annahme . Uns wird gesagt, dass wir feststellen sollten, dass im Optimum $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

Wenn wir und kombinieren, müssen wir auch haben, wenn dies unter den gegebenen Bedingungen tatsächlich das Optimum ist $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Dies ist jedoch eine zusätzliche, notwendige Einschränkung der a priori-Größen, die gelten muss, wenn die postulierte optimale Lösung zulässig sein soll. Selbst wenn tatsächlich eine solche Einschränkung angenommen wird, verringert sie auf jeden Fall sichtbar die Allgemeinheit des Problems (was vorgibt, etwas Allgemeines zu zeigen, dh wie sich die Risikoneutralität des Agenten auf die Lösung auswirkt).

Lassen Sie uns dies dennoch etwas formeller bearbeiten. Ich gehe davon aus, dass Null sein kann, aber nicht negativ. Dies ist ein Maximierungsproblem in normaler Form mit Ungleichheitsbeschränkungen, nicht negativen Entscheidungsvariablen und nicht negativen Multiplikatoren. Der vollständige Lagrange des Problems ist daher (ich werde die Notation auf offensichtliche Weise verdichten), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Die wesentlichen Bedingungen erster Ordnung sind

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

und analog für . Diese führen zu $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

Beachten Sie zunächst, dass nicht beide Löhne Null sein können, da die Einschränkungen verletzt würden. Berücksichtigen Sie vor diesem Hintergrund die Möglichkeit, dass das bindend ist (also ). Wenn es verbindlich ist und nicht beide Löhne Null sind, wird die Beschränkung notwendigerweise verletzt. Daraus schließen wir $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

und die Bedingungen erster Ordnung werden jetzt

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Beachten Sie nun, dass wenn (dh ) ist, als Gleichheit gelten sollte und der letzte Term rechts gleich Null ist. Dies würde jedoch einen negativen Grenznutzen erfordern, der unzulässig ist. Wir wissen auch, dass nicht beide Löhne Null sein können. Daraus schließen wir, dass wir haben müssen $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

und die Bedingungen werden jetzt

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Gl. impliziert, dass unter einer üblichen Nutzfunktionsspezifikation ist, die nur im Unendlichen einen Grenznutzen von Null ergibt. Dies bedeutet wiederum, dass die Einschränkung als Gleichheit gelten sollte. Vorausgesetzt, ergibt dies $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Dies sollte eine Glocke läuten, da die rechte Seite von dieselbe ist wie die rechte Seite von und . $(6)$ $(1)$ $(3)$

Wenn wir nämlich a priori dass , dann bestätigt die Lösung, zu der wir gekommen sind, die Behauptung $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

Unter dieser zusätzlichen Annahme erhalten wir auch

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Kombinieren erhalten wir

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

Dies ist zulässig . Unter erhalten wir also die Lösung $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
quelle