Solow-Modell: Steady State v Balanced Growth Path

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Okay, ich habe echte Probleme, zwischen dem Steady-State-Konzept und dem ausgewogenen Wachstumspfad in diesem Modell zu unterscheiden:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Ich wurde gebeten, die stationären Werte für das Kapital pro effektivem Arbeitnehmer abzuleiten:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Sowie das stationäre Verhältnis von Kapital zu Produktion (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Ich fand beide in Ordnung, wurde aber auch gebeten, den "stationären Wert des Grenzprodukts des Kapitals dY / dK" zu ermitteln. Folgendes habe ich getan:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Ersetzen von K im stationären Zustand (berechnet bei der Berechnung des stationären Zustands für das K / Y-Verhältnis oben):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Zunächst muss ich wissen, ob diese Berechnung für den stationären Wert von MPK korrekt ist.

Zweitens wurde ich gebeten, die Zeitpfade des Kapital-Output-Verhältnisses und des Grenzprodukts des Kapitals für eine Wirtschaft zu skizzieren, die "von unten" zu ihrem ausgeglichenen Wachstumspfad konvergiert.

Ich habe Probleme, genau zu verstehen, wie der ausgeglichene Wachstumspfad im Gegensatz zum stationären Zustand aussieht und wie ich anhand meiner Berechnungen herausfinden kann, wie diese Diagramme aussehen sollten.

Entschuldigung für den Mammutbeitrag, jede Hilfe wird sehr geschätzt! Danke im Voraus.

— James Baker
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Dies ist der Fall, wenn der Versuch der Genauigkeit Verwirrung und Missverständnisse hervorruft.

Früher enthielten Wachstumsmodelle keinen technologischen Fortschritt und führten zu einem langfristigen Gleichgewicht, das durch konstante Pro-Kopf-Größen gekennzeichnet war. Verbal schien der Begriff "stationärer Zustand" angemessen, um eine solche Situation zu beschreiben.

Dann kamen Romer- und endogene Wachstumsmodelle hinzu, was auch die älteren Modelle dazu veranlasste, routinemäßig exogene Wachstumsfaktoren (abgesehen von der Bevölkerung) einzubeziehen. Und "plötzlich" waren die Pro-Kopf-Bedingungen im langfristigen Gleichgewicht nicht konstant, sondern wuchsen mit konstanter Geschwindigkeit . In der Literatur wurde eine solche Situation zunächst als "stationärer Zustand der Wachstumsraten" beschrieben.

Dann scheint der Beruf so etwas wie "es ist ungenau, das Wort" stetig "hier zu verwenden, weil die Pro-Kopf-Größen wachsen. Was passiert, ist, dass alle Größen mit einer ausgeglichenen Geschwindigkeit wachsen (dh mit der gleichen Geschwindigkeit, und so bleiben ihre Verhältnisse konstant). Und da sie wachsen, folgen sie einem Weg ... "Eureka!: Der Begriff" ausgeglichener Wachstumspfad "wurde geboren.

... Zur Frustration der Schüler (zumindest), die sich jetzt daran erinnern müssen, dass beispielsweise der "Sattelpfad" zwar ein Pfad im Phasendiagramm ist, der "ausgeglichene Wachstumspfad" jedoch nur ein Punkt! (Denn um tatsächlich ein Phasendiagramm zu zeichnen und ein gutes altes langfristiges Gleichgewicht zu erhalten, drücken wir Größen pro effektivem Arbeiter aus, und diese Größen haben einen traditionellen stationären Zustand. Aber wir nennen es weiterhin "ausgeglichenen Wachstumspfad". weil die Pro-Kopf-Größen, an denen wir in unserem individualistischen Ansatz interessiert sind, weiter wachsen).

Also "ausgeglichener Wachstumspfad" = "stationärer Zustand der Größen pro Effizienzarbeitseinheit", und ich denke, Sie können den Rest für Ihr Phasendiagramm herausfinden.

— Alecos Papadopoulos
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Nach dem Gespräch mit Benutzer @denesp in den Kommentaren meiner vorherigen Antwort muss ich Folgendes klarstellen: Das übliche grafische Gerät, das wir im Zusammenhang mit dem grundlegenden Solow-Wachstumsmodell verwenden (siehe zum Beispiel hier , Abbildung 2), ist kein Phasendiagramm. da wir vernünftigerweise "Phasendiagramme" nennen, die Orte ohne Änderung enthalten, identifizieren ihre Kreuzungspunkte als feste Punkte eines dynamischen Systems und untersuchen ihre Stabilitätseigenschaften. Und das tun wir nicht für das Solow-Modell. Es war also eine unachtsame Verwendung der Terminologie von meiner Seite.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
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