Was ist die minimale Erweiterung von FO, die die Klasse der regulären Sprachen erfasst?

Kontext: Beziehungen zwischen Logik und Automaten

Der Satz von Büchi besagt, dass die monadische Logik zweiter Ordnung über Strings (MSO) die Klasse der regulären Sprachen erfasst. Der Beweis zeigt tatsächlich, dass existenzielles MSO ( oder EMSO ) über Zeichenfolgen ausreicht, um reguläre Sprachen zu erfassen. Dies könnte ein wenig überraschend sein, da MSO im Vergleich zu allgemeinen Strukturen strikt aussagekräftiger ist als . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Meine (ursprüngliche) Frage: Eine minimale Logik für reguläre Sprachen?

Gibt es eine Logik, die im Vergleich zu allgemeinen Strukturen weniger aussagekräftig ist als , die jedoch die Klasse der regulären Sprachen erfasst, wenn sie über Zeichenfolgen betrachtet wird? $\exists\text{MSO}$

Insbesondere möchte ich wissen, welches Fragment der regulären Sprachen von FO über Strings erfasst wird, wenn es mit einem Least-Fixed-Point-Operator (FO + LFP) erweitert wird. Es scheint ein natürlicher Kandidat für das zu sein, wonach ich suche (wenn es nicht ). $\exists\text{MSO}$

Eine erste Antwort

Wie pro @ makoto-kanazawa Antwort , die beide FO (LFP) und FO (TC) Capture mehr als reguläre Sprachen, in denen TC ein Betreiber transitive Schließung von binären Beziehungen ist. Es bleibt abzuwarten, ob TC durch einen anderen Operator oder eine Gruppe von Operatoren ersetzt werden kann, sodass die Erweiterung genau die Klasse der regulären Sprachen erfasst und keine anderen.

Logik erster Ordnung allein reicht, wie wir wissen, nicht aus, da sie sternlose Sprachen erfasst, eine angemessene Unterklasse der regulären Sprachen. Als klassisches Beispiel kann die Sprache Parity nicht mit einem FO-Satz ausgedrückt werden. $\;\;=(aa)^*$

Aktualisierte Frage

Hier ist ein neuer Wortlaut meiner Frage, der unbeantwortet bleibt.

Was ist die minimale Erweiterung der Logik erster Ordnung, sodass FO + diese Erweiterung, wenn sie Zeichenfolgen übernimmt, genau die Klasse regulärer Sprachen erfasst ?

Hier ist eine Erweiterung minimal, wenn sie (bei Übernahme allgemeiner Strukturen) unter allen Erweiterungen, die die Klasse regulärer Sprachen erfassen (bei Übernahme von Zeichenfolgen), am wenigsten aussagekräftig ist.

— Janoma
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Wenn ich mich nicht irre, ist

Kalkül tatsächlich gleichbedeutend mit MSO über Strings.

μ

$\mu$

— Sylvain

@ Sylvain, eine Referenz? Ich weiß nichts über

Kalkül.

μ

$\mu$

— Janoma

Es scheint in dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 für den unendlichen Baum und in dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 für die Äquivalenz mit dem bisimulationsinvarianten Fragment von MSO bewiesen zu sein über beliebige Strukturen.

— Sylvain

Ich schaue mir das zweite Papier an, obwohl ich befürchte, dass viele Konzepte für mich neu sind. Insbesondere wusste ich nichts über bisimulationsinvariante Übergangssysteme. Es scheint, dass DFA besondere Fälle eines Übergangssystems sind, aber ich weiß nicht, ob sie bisimulationsinvariant sind. Wenn ja, würde dies einen Teil meiner Frage beantworten (es könnte noch eine weniger aussagekräftige Logik für reguläre Sprachen geben). Wenn dies nicht der Fall ist, kann meines Erachtens nichts gesagt werden, da es immer noch eine Äquivalenz geben könnte, wenn nur Zeichenfolgen betrachtet werden.

— Janoma

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

FO (LFP) erfasst PTIME auf geordneten Strukturen und Strings sind geordnete Strukturen. Die von FO (LFP) definierbaren Sprachen umfassen also alle regulären Sprachen und vieles mehr. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
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Ausgezeichnet. Ich weiß nicht, was du mit TC ^ 1 und TC ^ 2 meinst, ist das ein Tippfehler? Soweit mir bekannt ist, wird in dem von Ihnen erwähnten Buch die Notation FO (TC) für die Erweiterung von FO mit transitivem Verschluss und FO (DTC) für die Erweiterung von FO mit deterministischem transitivem Verschluss verwendet , die unterschiedlich definiert ist. Die Übung, die Sie erwähnen, habe ich jedoch nicht gefunden. Es bleibt abzuwarten, ob es einen Operator gibt, der weniger aussagekräftig ist als TC und der es weiterhin ermöglicht, reguläre Sprachen zu erfassen. Ich werde meine Frage entsprechend aktualisieren.

— Janoma

Diese Antwort ist etwas spät, aber es ist bekannt, dass man alle und nur die regulären Sprachen erhalten kann, indem man einen verallgemeinerten Gruppenquantifikator für jede endliche Gruppe (oder äquivalent für jede endliche einfache Gruppe) anschließt. Siehe z. B. "Reguläre Sprachen, die durch Lindstrom-Quantifizierer definierbar sind" von Zoltan Esiky und Kim G. Larsen unter http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Dies ist außerdem insofern optimal, als eine reguläre Sprache nur dann definierbar ist, wenn die Quantifizierer für jede Gruppe, die ihr syntaktisches Monoid teilt, verfügbar sind.

— Ben Standeven
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Ich habe weitere Referenzen gefunden, die Sie interessieren könnten.

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— Makoto Kanazawa
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