Ich werde es versuchen. Ich werde die Originalnotation von Yao verwenden. Auf diese Weise wird es einfacher, einen Kontrast zu seinem Papier und seinen Definitionen herzustellen.
Sei eine endliche Menge von Eingaben, und sei eine endliche Menge von deterministischen Algorithmen, die auf einige Eingaben möglicherweise keine korrekte Antwort geben. Lassen Sie auch wenn die richtige Antwort für liefert , und wenn nicht. Bezeichnen Sie mit die Anzahl der Abfragen, die bei Eingabe von , oder äquivalent die Tiefe des Entscheidungsbaums vonI A 0 ≤ ( A , x ) = 0 A x ≤ ( A , x ) = 1 r ( A , x ) A x AIA0ϵ(A,x)=0Axϵ(A,x)=1r(A,x)AxA
Durchschnittskosten: Bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilungdd auf I , die durchschnittlich Kosten einen Algorithmus ist .IA∈A0A∈A0C(A,d)=∑x∈Id(x)⋅r(A,x)C(A,d)=∑x∈Id(x)⋅r(A,x)
Verteilungskomplexität: Sei . Für jede Verteilung auf den Eingaben sei die Teilmenge von gegeben durch . Die Verteilungskomplexität mit Fehler für ein Rechenproblem ist definiert als .λ∈[0,1]λ∈[0,1]ddβ(λ)β(λ)A0A0β(λ)={A:A∈A0,∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≤λ}β(λ)={A:A∈A0,∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≤λ}λλPPF1,λ(P)=maxdminA∈β(λ)C(A,d)F1,λ(P)=maxdminA∈β(λ)C(A,d)
λλ -toleranz: Eine Verteilung auf die Familie ist -tolerant, wenn .qqA0A0λλmaxx∈I∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)≤λmaxx∈I∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)≤λ
Erwartete Kosten: Für einen randomisierten Algorithmus sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die tolerant für . Die erwarteten Kosten von für eine gegebene Eingabe sind .RRqqλλA0A0RRxxE(R,x)=∑A∈A0q(A)⋅r(A,x)E(R,x)=∑A∈A0q(A)⋅r(A,x)
Randomisierte Komplexität: Lassen Sie . Die randomisierte Komplexität mit dem Fehler ist .λ∈[0,1]λ∈[0,1]λλF2,λ=minRmaxx∈IE(R,x)F2,λ=minRmaxx∈IE(R,x)
Jetzt sind wir bereit, ins Geschäft einzusteigen. Was wir beweisen wollen, ist eine Verteilung auf die Eingaben und ein randomisierter Algorithmus (dh eine Verteilung auf ).ddRRqqA0A0
Yaos Minimax-Prinzip für Montecarlo-Algorithmen
für .maxx∈IE(R,x)≥12minA∈β(2λ)C(A,d)
maxx∈IE(R,x)≥12minA∈β(2λ)C(A,d)
λ∈[0,1/2]λ∈[0,1/2]
Ich werde einem Ansatz von Fich, Meyer auf der Heide, Ragde und Wigderson folgen (siehe Lemma 4). Ihr Ansatz liefert keine Charakterisierung für Las Vegas-Algorithmen (nur die untere Schranke), ist aber für unsere Zwecke ausreichend. Aus ihrem Beweis ist es leicht zu ersehen, dass undA0A0II
1. .maxx∈IE(R,x)≥minA∈A0C(A,d)maxx∈IE(R,x)≥minA∈A0C(A,d)
Um dort die richtigen Zahlen zu erhalten, werden wir etwas Ähnliches tun. Da die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die randomisierten Algorithmus gegeben ist -toleranten auf wir haben , dass
Wenn wir die Familie durch ersetzenqqRRλλA0A0λ≥maxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥∑x∈Id(x)∑A∈A0q(a)⋅ϵ(A,x)=∑A∈A0q(a)∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≥minA∈A0{∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)}.
λ≥maxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥∑x∈Id(x)∑A∈A0q(a)⋅ϵ(A,x)=∑A∈A0q(a)∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≥minA∈A0{∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)}.
A0A0β(2λ)β(2λ) wir sehen das
λ≥maxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥maxx∈I{∑A∈β(2λ)q(A)⋅ϵ(A,x)}≥∑x∈Id(x)∑A∈β(2λ)q(a)⋅ϵ(A,x)=∑A∈β(2λ)q(a)∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≥minA∈β(2λ){12∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)},
λ≥maxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥maxx∈I⎧⎩⎨∑A∈β(2λ)q(A)⋅ϵ(A,x)⎫⎭⎬≥∑x∈Id(x)∑A∈β(2λ)q(a)⋅ϵ(A,x)=∑A∈β(2λ)q(a)∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)≥minA∈β(2λ){12∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)},
wobei die zweite Ungleichung folgt, weil und die letzte Ungleichung durch die Definition von wobei die durch 2 geteilte Summe nicht größer sein kann als . Daher
β(2λ)⊆A0β(2λ)⊆A0β(2λ)β(2λ)λλmaxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥12minA∈β(2λ){∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)}.
maxx∈I{∑A∈A0q(A)⋅ϵ(A,x)}≥12minA∈β(2λ){∑x∈Id(x)⋅ϵ(A,x)}.
Indem wir feststellen, dass auf und auf und Anspruch 1 oben abgebildet sind, können wir jetzt die Funktion in der obigen Ungleichung sicher durch ersetzen , um zu erhalten die gewünschte Ungleichung.ϵϵ{0,1}{0,1}rrNNϵϵr(A,x)r(A,x)