Kompromissgrenzen für die Halbraumbereichszählung

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Was ist die derzeit beste Grenze für die Durchführung von Abfragen zur Zählung des Halbraumbereichs an einer Reihe von dimensionalen Punkten, ausgedrückt in Form eines Zeit / Raum-Kompromisses. Gemäß Matouseks wegweisender Arbeit von 1993 (Satz 6.2, Bereichssuche mit effizienten hierarchischen Schnitten) können wir die Bereichszählung für Abfragen, die den Schnittpunkt von Halbräumen darstellen, für unter Verwendung einer Datenstruktur der Größe für in $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ Zeit. Fürdies die Zeit. Agarwals Umfrage zur Bereichssuche (Tabelle 36.3.2) besagt jedoch, dass die Grenze $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ . Was ist die korrekte Aussage der Bindung? Was missverstehe ich alternativ? Gibt es schließlich einen versteckten Log-Term, wenn? $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ $m=n^d$

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— pkn
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Matoušeks stärkere Zeitbindung ist richtig.

$O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$ - gibt Matoušeks Form des Zeit-Raum-Kompromisses. (Tatsächlich ist der Indirektionstrick nur eine sehr sorgfältige Anwendung der Standard-Kompromissmaschinerie.)

— Jeffε
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O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

2

Es gibt eine kurze Diskussion der Ergebnisse bei der Suche im Halbraumbereich direkt über Tabelle 36.3.2 in Agarwals Umfrage und eine weitere in Abschnitt 4.3 dieser Umfrage . Ersteres scheint nicht viele Details zu liefern, die über "Ein Kompromiss zwischen Raum und Abfragezeit für die Simplex-Bereichssuche kann durch Kombinieren der Datenstrukturen mit linearer Größe und logarithmischer Abfragezeit erreicht werden" hinausgehen, letzteres scheint jedoch einiges zu bieten Weitere Details zum Kompromiss zwischen Raum und Abfragezeit. Ich schlage vor, Abschnitt 4.3, Satz 7, Folgerung 8 und ihre Beweise zu betrachten. Ich habe sie nicht ausführlich genug gelesen, um zu wissen, ob sie Ihre Frage vollständig beantworten, aber es ist zumindest ein guter Anfang.

— Joe
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