Die Roll Problem

Edit: Ich denke, der Geist der Frage war gut, aber es muss verbessert werden. Die für den Münzwurf getroffenen Annahmen machten diese Frage trivial, und der Würfelwurf ist immer noch nicht genau genug definiert.

Was sind vernünftige Annahmen, die wir über einen Würfelwurf machen können, die die Frage nachvollziehbar, aber nicht trivial machen? Der beste Ort für weitere Diskussionen ist wahrscheinlich der Chat.

Diese Frage ist vom Problem der Super Mario Galaxy (SMG) inspiriert und steht in engem Zusammenhang damit .

Angenommen, Mario geht auf der Oberfläche eines Planeten. Wie schnell können wir bestimmen, wo er anhalten wird, wenn er von einem bekannten Ort aus in einer festen Richtung für eine vorgegebene Entfernung zu Fuß geht?

Als ersten Durchgang möchten wir die Frage so weit wie möglich vereinfachen.

Frage 1

Angenommen, wir beginnen mit einem Münzkopf nach oben, werfen ihn mit einem anfänglichen Drehmoment und fangen ihn nach der Zeit t wieder auf . Wie schnell können wir feststellen, ob die Münze auf Kopf oder Zahl landet?$T$$t$

Genauer gesagt ist eine Münze ein Zylinder mit einer Höhe von nahezu 0 (im Vergleich zu ihrem Radius vernachlässigbar). Die Münze dreht sich für eine festgelegte Zeit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem festen Winkel. Am Ende dieses Zeitraums frieren wir Zeit und Raum ein und untersuchen die Position der Münze. Dies ist gemeint mit "Fangen" der Münze. Es gibt drei Möglichkeiten: Die Münze ist genau vertikal, wobei die dünne Kante genau nach oben zeigt. Im Moment ignorieren wir diese Möglichkeit. Wenn Sie also die Münze von oben betrachten, können Sie entweder die Kopf- oder die Schwanzseite sehen. Welche Seite in diesem Moment von oben sichtbar ist, ist der Wert des Wurfs.

Das anfängliche Drehmoment und die Zeitspanne sollen analog zu Mario sein, der über eine vorgegebene Strecke eine feste Richtung geht. Der Unterschied besteht darin, dass wir das Polytop nicht über eine gewisse Distanz entlang der Oberfläche laufen lassen, sondern es für eine feste Anzahl von Bogenmaß im Raum frei drehen lassen.

Frage 0

Wenn sich die Münze um eine feste Achse dreht, ist der Wert des Wurfs (die von oben gesehene Seite der Münze) periodisch? Wie ich oben das Problem definiert habe, dreht sich die Münze notwendigerweise um eine feste Achse oder kann sie sich unvorhersehbarer drehen?

Wie beim SMG-Problem möchten wir etwas Klügeres tun, als explizit durch jedes Gesicht zu "gehen", während die Münze wirft. In dieser stark vereinfachten Version des Problems sollte dies meines Erachtens möglich sein, da der Münzwurf regelmäßig erfolgen sollte.

In der zweiten Frage betrachten wir eine weniger triviale Einschränkung des ursprünglichen Problems.

Frage 2

$s$$T$

Wir müssen einige vereinfachende Annahmen über den Würfel treffen, sonst wird dies eher zu einem physikalischen Modellierungsproblem. Nehmen wir zunächst an, wir werfen den Würfel so, als würden wir eine Münze werfen: Wir werfen ihn, geben ihm eine anfängliche Drehung und fangen ihn nach kurzer Zeit wieder, und die Seite, die offen liegt, ist der Wert des Wurfs.

$P$

Frage 3

Selbst für einen regulären Würfel weiß ich nicht, dass die Folge von Gesichtern, die offen liegen, periodisch sein wird, aber können wir den Würfelwurf durch eine periodische Folge approximieren und so schneller eine "beste Schätzung" des Ergebnisses erhalten, als wir könnten das ursprüngliche Problem lösen? Ich denke, die Antwort lautet eindeutig Ja, aber was ist der Kompromiss zwischen der Qualität unserer Schätzung und der Verbesserung der Laufzeit?

Frage 4

Angenommen, der Würfel ist gewichtet, so dass seine Geschwindigkeit von der aktuellen Fläche abhängt. In der Terminologie des ursprünglichen SMG-Problems bedeutet dies, dass die Geschwindigkeit, mit der Mario geht, von dem Gesicht abhängt, in dem sich Mario gerade befindet. Vielleicht haben einige Teile des Planeten ein raueres Gelände als andere.

Zunächst denke ich, dass Sie wahrscheinlich einen Winkelimpuls und kein Drehmoment meinen. (Sie können den Impuls als die Gesamtwirkung eines über einen kurzen Zeitraum ausgeübten Drehmoments betrachten.) Wenn Sie den Luftwiderstand usw. vernachlässigen, ist die Bewegung eines starren Körpers (und insbesondere einer Münze oder eines Würfels) im COM-Rahmen sehr groß einfach - es dreht sich nur mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit.

$\omega t$$-\omega t$

Ich würde nicht sagen, dass dieses Problem ein gutes Modell für das SMG-Problem ist, da sich in SMG ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit auf der Oberfläche bewegt, während sich hier der gesamte Körper mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit dreht, was dieses Problem so viel einfacher macht .