Ladner's Theorem vs. Schaefer's Theorem

Beim Lesen des Artikels "Ist es an der Zeit, den Sieg bei der Zählung der Komplexität zu erklären?" über an dem „Gödels verlorenen Brief und P = NP“ Blog, erwähnte sie die Dichotomie für CSPs. Nachdem ich ein paar Links gefolgt, gegoogelt und Wikipeds gemacht hatte, stieß ich auf Ladners Theorem :

Ladners Satz: Wenn , dann gibt es Probleme in , die nicht -vollständig sind.N P ∖ P N ${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

und zu Schäfers Satz :

Schaefers Dichotomiesatz: Für jede Bedingungssprache über , wenn Schaefer ist, polynomiell zeitlösbar. Andernfalls ist -komplette.{ 0 , 1 } Γ C S P ( Γ ) C S P ( Γ ) N $\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

Ich lese dies, um zu bedeuten, dass es bei Ladner Probleme gibt, die weder noch vollständig sind, aber bei Schaefer sind die Probleme entweder oder vollständig nur.N P P N ${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

Was vermisse ich? Warum widersprechen sich diese beiden Ergebnisse nicht?

Ich habe die kondensierte Version der obigen Theoremaussagen von hier genommen . In seinem Abschnitt "Abschließende Kommentare" sagt er: "Wenn also ein Problem in , es aber nicht -vollständig ist, kann es nicht als CSP formuliert werden." .N ${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

Bedeutet dies, dass bei Problemen einige Instanzen im fehlen ? Wie ist das möglich?N ${\bf SAT}$${\bf NP}$

Wie Massimo Lauria feststellt, sind Probleme der Form CSP ( ) etwas Besonderes. Es gibt also keinen Widerspruch.$\Gamma$

Jede Instanz eines Bedingungserfüllungsproblems kann als Paar von Beziehungsstrukturen und , und es muss entschieden werden, ob ein Beziehungsstrukturhomomorphismus von der Quelle zu dem Ziel . S T S $(S,T)$$S$$T$$S$$T$

CSP ( ) ist ein spezielles Problem der Einschränkungszufriedenheit. Es besteht aus allen Paaren von relationalen Strukturen , die unter Verwendung konstruiert sind , nur die Verhältnisse von in der Zielbeziehungsstruktur: CSP ( ) = . Schäfers Theorem besagt, dass wenn nur Relationen über , CSP ( ) entweder NP-vollständig oder in P ist, aber nichts über andere Sammlungen von CSP-Instanzen aussagt.Γ Γ { ( S , T ) ∣ alle Beziehungen von  T  sind von  Γ } Γ { 0 , 1 } $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$

Als extremes Beispiel kann man mit etwas CSP ( ) beginnen, das NP-vollständig ist, und mit "Lücken" in der Sprache. (Ladner tat dies mit SAT im Beweis seines Theorems.) Das Ergebnis ist eine Teilmenge, die nur einige der Instanzen enthält und nicht länger die Form CSP ( ) für irgendein . Die Wiederholung der Konstruktion ergibt eine unendliche Hierarchie von Sprachen mit abnehmender Härte unter der Annahme von P ≠ NP.Γ ′ Γ $\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

Sie müssen verstehen, dass -Probleme eine Struktur haben, die generische -Probleme nicht haben. Ich werde Ihnen ein einfaches Beispiel geben. Es sei . Diese Sprache ist so, dass Sie nur Gleichheit und Ungleichheit zwischen zwei Variablen ausdrücken können. Es ist klar, dass ein solcher Satz von Beschränkungen in der Polynomzeit lösbar ist.S A T Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$

Ich werde Ihnen zwei Argumente geben, um die Beziehung zwischen und Klauseln zu verdeutlichen . Beachten Sie, dass alles, was folgt, voraussetzt .P ≠ N $\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

Erstens : Einschränkungen haben eine feste Anzahl von Variablen, während für die Codierung von Zwischenproblemen möglicherweise umfangreiche Klauseln erforderlich sind. Dies ist nicht unbedingt ein Problem, wenn solch große Einschränkungen als eine Konjunktion kleinerer mithilfe von Hilfsvariablen ausgedrückt werden können. Leider ist dies bei General nicht immer der Fall .$\Gamma$

$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$