Kurze Antwort: wahrscheinlich nicht (1), definitiv nicht (2) und möglicherweise (3).
Dies ist etwas, worüber ich schon eine Weile nachgedacht habe. Erstens zielt GCT in gewissem Sinne darauf ab, die Rechenfunktionen zu begrenzen, anstatt Entscheidungsprobleme zu lösen. Aber Ihre Frage ist für die Funktionsklassenversionen von , P ,LP und E X P.PSPACEEXP
Zweitens ist es in einem GCT-Ansatz wahrscheinlich unglaublich schwierig , tatsächlich die booleschen Versionen zu beweisen - die wir kennen und lieben, wie -, da dies die Verwendung einer modularen Darstellungstheorie erfordern würde (Darstellungstheorie über endlich) Felder), die in keinem Zusammenhang gut verstanden wird. FP≠FEXP
Ein vernünftiges Ziel könnte jedoch sein, mit GCT ein algebraisches Analogon von zu beweisen .FP≠FEXP
Um auf Ihre Frage zu kommen: Ich glaube, dass diese Fragen in einem GCT-Kontext formuliert werden können, obwohl es nicht sofort offensichtlich ist, wie. Mehr oder weniger benötigen Sie eine Funktion, die für die Klasse vollständig ist und sich durch ihre Symmetrien auszeichnet. Zusätzlicher Bonus, wenn die mit der Funktion verbundene Darstellungstheorie leicht zu verstehen ist, aber letztere normalerweise recht schwierig ist.
Selbst wenn die Fragen einmal in einem GCT-Kontext formuliert sind, weiß ich nicht, wie schwierig es sein wird, mit GCT (algebraische Analoga von) usw. zu beweisen . Die darstellungstheoretischen Vermutungen, die in diesen Kontexten entstehen werden wird wahrscheinlich einen sehr ähnlichen Geschmack haben wie diejenigen, die in P vs N P auftretenFP≠FEXPPNPoder permanent vs determinant. Man könnte hoffen, dass die klassischen Beweise dieser Trennungsergebnisse eine Vorstellung davon geben, wie man die repräsentationstheoretischen "Hindernisse" findet, die für einen GCT-Beweis benötigt werden. Allerdings sind die Beweise für die Aussagen , die Sie erwähnen alle Hierarchiesätze auf diagonalization basiert, und ich sehe nicht , wie diagonalization werden Sie wirklich viel Einblick in die Darstellungstheorie mit einer Funktion zugeordnet geben , die für (die algebraische Analogon von) abgeschlossen ist , sag. Andererseits habe ich noch nicht gesehen, wie man F E X P in einem GCT-Kontext formuliert , also ist es ein wenig früh zu sagen.FEXPFEXP
Schließlich haben Peter Burgisser und Christian Ikenmeyer, wie ich in diesem Blogbeitrag erwähnte, versucht, die Untergrenze des Grenzwerts von 2 × 2 erneut zu beweisen2×2 Matrixmultiplikation (die 2006 von Joseph Landsberg als 7 nachgewiesen wurde) erneut zu beweisen. Sie konnten durch eine Computersuche nach GCT-Hindernissen nachweisen, dass der Grenzrang mindestens 6 beträgt. Update April 2013 : Seitdem ist es ihnen gelungen, Landsbergs Ergebnis mit einem GCT-Hindernis nachzuweisen und eine asymptotische 3 zu zeigen niedriger auf Matrizenmultiplikation gebunden32n2−2unter Verwendung eines solchen Verstopfungen. Obwohl GCT die bekannte Untergrenze der Matrixmultiplikation bisher nicht reproduzierthat, ermöglicht es eine effizientere Computersuche als die Alternative (die Grobner-Basen beinhalten würde, die im schlimmsten Fall eine doppelt exponentielle Zeit sind). In ihren Gesprächen während des Workshops haben sowohl Peter als auch Christian darauf hingewiesen (richtig, würde ich sagen), dass das, was wir wirklich hoffen, wenn wir kleine Beispiele berechnen, nicht die bekannten Untergrenzen bestätigt, sondern einigeEinsichten, die es uns ermöglichen werden, diese zu nutzen Techniken zum NachweisneuerUntergrenzen.
Das Schöne an GCT im Zusammenhang mit der Matrixmultiplikation ist, dass die Technik leicht von auf 3 verallgemeinert werden kann2×2 Matrixmultiplikationwerden kann (obwohl die Berechnung der Hindernisse mit den aktuellen Techniken offensichtlich teurer wird), während Landsbergs Ansatzsehrschwierig zu implementierenscheintauch für den 3 × 3 Fall. Ähnliches gilt für die von Ihnen erwähnten Komplexitätsklassentrennungen: GCT ist allgemein genug, um nicht nur für bekannte Ergebnisse wie F P ≠ gelten zu können3×33×3 , sondern auch für unbekanntewie P ≠ zu geltenFP≠FEXP , wohingegen wir wissen, dass Diagonalisierung dies nicht tut.P≠NP