Geben uns gute PCPs für NP gute PCPs für die gesamte Polynomhierarchie?

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Das PCP-Theorem besagt, dass jedes Entscheidungsproblem in NP probabilistisch überprüfbare Beweise hat (oder äquivalent dazu, dass es ein vollständiges und quasi-schalldichtes Beweissystem für Theoreme in NP gibt, das eine konstante Abfragekomplexität und logarithmisch viele zufällige Bits verwendet).

Die „Volksweisheit“, die den PCP-Satz umgibt (wobei die Bedeutung von PCP für die Approximationstheorie für einen Moment ignoriert wird), besteht darin, dass in strenger mathematischer Sprache verfasste Beweise effizient mit jedem gewünschten Genauigkeitsgrad überprüft werden können, ohne dass das gesamte gelesen werden muss Beweis (oder ein Großteil des Beweises überhaupt).

Ich kann das nicht ganz sehen. Betrachten Sie die Erweiterung zweiter Ordnung zur Aussagenlogik mit uneingeschränkter Verwendung von Quantifizierern (von denen mir gesagt wird, dass sie bereits schwächer als ZFC ist, aber ich bin kein Logiker). Wir können bereits beginnen, Sätze auszudrücken, die NP durch alternierende Quantifizierer nicht zugänglich sind.

Meine Frage ist, ob es eine einfache, bekannte Möglichkeit gibt, Quantifizierer in Aussagen höherer Ordnung zu "entrollen", so dass PCPs für Theoreme in NP für jede PH-Ebene gleich gut gelten. Es kann sein, dass dies nicht möglich ist - das Abrollen eines Quantifizierers kostet im schlimmsten Fall einen konstanten Teil der Solidität oder Korrektheit unseres Beweissystems.

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

Das klingt vernünftig, aber ich bin verwirrt. Wenn dies richtig wäre, würde es NP nicht in BPP aufnehmen?

— Ross Snider

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Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

das wird nicht funktionieren. Der PH ist resistent gegen die beteiligten Deckspelzen. Betrachten Sie etwas wie EXP ^ 2. Es kann RP, RNP usw. als Witz behandeln. Sie sind nicht leicht in dieser Hierarchie aufzusteigen.

— Steve Uurtamo

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Die Wahrheit einer Aussage unterscheidet sich von einem (kurzen) Beweis in einem Beweissystem. Die Sprache ist ausdrucksstark, bedeutet jedoch nicht, dass alle gültigen Aussagen in der Sprache kurze Beweise im System haben.

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

$n^{100}$ $n$ ".

— Kaveh
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Lassen Sie mich versuchen zu klären.

Betrachten Sie das folgende Rechenproblem: Entscheiden Sie anhand einer mathematischen Aussage (in Ihrem bevorzugten Axiomensystem) und einer Zahl n in unärer Darstellung, ob die Aussage einen Beweis der Größe n hat.

Dies ist ein NP-Problem: Wenn ein Beweis gegeben ist, kann man effizient überprüfen, ob er die Größe n hat und ob er ein gültiger Beweis für den Satz ist. Hinweis: Selbst wenn die Anweisung Quantifizierer wie FOR ALL enthält, bedeutet dies nicht, dass der Verifizierer alle Möglichkeiten prüfen muss, sondern nur, dass der Verifizierer Inferenzregeln verwendet, die den FOR ALL-Quantifizierer betreffen.

Der PCP-Satz gilt daher für dieses Problem, und daher gibt es ein (anderes) Beweisformat, das eine probabilistische Überprüfung ermöglicht.

Noch ein Hinweis (zu Peters Bemerkung): Der PCP-Verifizierer verwendet nur logarithmische Zufälligkeit. Dies bedeutet, dass es durch einen standardmäßigen, deterministischen Prüfer ersetzt werden könnte, der den gesamten Beweis betrachtet. Das heißt, ein PCP-Verifizierer für eine Sprache bringt sie in NP.

— Dana Moshkovitz
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