Gibt es so etwas wie einen schwachen Homomorphismus der Kohlegebra?

Wenn ein Endofunktor $F : Set \rightarrow Set$ , können wir Beobachtungsfunktionen als Funktionen definieren, die für jede Kohlegebra polymorph sind, dh für jede Kohlegebra definiert ist . Eine andere Art, Beobachtungsfunktionen zu betrachten, sind die Funktionen der endgültigen Kohle, falls vorhanden . Wir erhalten den Polymorphismus automatisch, indem wir die Beobachtungsfunktion mit dem einzigartigen Homomorphismus zum endgültigen$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

Eines der bestimmenden Merkmale einer Beobachtungsfunktion besteht darin, dass sie jeden rechts zusammengesetzten Homomorphismus der Kohlegebra aufgrund seines Polymorphismus aufhebt. Wenn ein Coalgebra-Homomorphismus ist, dann: Während meiner Recherche kam mir die Idee eines schwachen Coalgebra-Homomorphismus. Die Idee ist, dass wir einen Kohlegebra-Homomorphismus "vortäuschen" können, wenn wir die Beobachtungsfunktion im Voraus kennen. Wir könnten also befriedigen, aber nur für ein bestimmtes .$hom$$F$

Beispielsweise sei und sei definiert als Das heißt, nimmt die ersten beiden Elemente von ein Strom.$FX = \{0,1\} \times X$$obs$

Dann müsste ein F-Kohlegebra-Homomorphismus sicherstellen, dass alle Elemente des Stroms erhalten bleiben, wohingegen ein schwacher Homomorphismus für nur die ersten beiden Elemente des Stroms erhalten muss.$obs$

In meiner Forschung wäre dieser Begriff nützlich, um zu zeigen, dass eine Kohlebra mit einer anderen beobachtungskonform ist, indem gezeigt wird, dass jede endliche lineare Beobachtungsfunktion einen schwachen Homomorphismus von der ersten zur zweiten Kohlebra aufweist. Mit anderen Worten kann jede endliche lineare Beobachtung in der ersten Kohlegebra in der zweiten Kohlegebra reproduziert werden.

(Was ich unter linearer Beobachtungsfunktion verstehe, ist größtenteils irrelevant, aber zum Teilen ... Eine lineare Beobachtungsfunktion ist mehr oder weniger eine, die jeden Zustand des Trägersatzes nur einmal verwendet. Ich versuche, ein Orakel zu modellieren. und der Benutzer darf nicht zurückgehen und so tun, als hätte er nie eine Frage gestellt.)

Meine Fragen sind also:

1. Wurde dies untersucht? Gibt es schon "schwache Homomorphismen der Kohlegebra", vielleicht unter einem anderen Namen?

2. Gibt es eine "Kategorietheorie", um dies zu präsentieren?

Bearbeiten : Zwei Fragen wurden entfernt, die nicht so wichtig sind.

Die von Ihnen beschriebenen "schwachen Morphismen" haben einen leicht eingeschränkten Namen. Sie können auch ganz allgemein definiert werden, wie ich erklären werde.

In dem Fall, in dem schwache Pullbacks beibehält (viele natürliche Funktoren in S e t do), ist bekannt, dass die Verhaltensäquivalenz mit der kohlebraischen Bisimilarität zusammenfällt. Dann sind Ihre Morphismen als funktionelle α- Stufen-Bisimulationen bekannt, wobei α eine Ordnungszahl ist. Zugegeben, ich habe sie nur für Ordnungszahlen α ≤ ω definiert gesehen$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$. Vor der Kohlegebra hatten Modallogiker n-stufige Bisimulationen für Kripke-Frames untersucht, die für den Powerset-Funktor n-stufige Bisimulationen für Kohlegebras darstellen. Ihre Anforderung, dass sie Funktionen im Gegensatz zu Beziehungen sind, macht sie zu funktionalen n-Stufen-Bisimulationen.

Auf der anderen Seite können Sie das Konzept, von dem Sie sprechen, in einer viel allgemeineren Umgebung definieren, ohne auf kohlebraische Bisimulationen Bezug zu nehmen. Für jede Kategorie die Grenzen ordinaler Indexketten hat, und für jeden Funktor T : C → C kann man die terminale Sequenz von T definieren . Die Bedingung Grenzen ist eigentlich , eher schwach wie viele Kategorien (einschließlich S e t ) abgeschlossen sind tatsächlich dh alle kleinen Grenzen. Die Terminalsequenz ist ein Diagramm in C und sieht wie folgt aus:$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

Hier ist das Terminalobjekt in C (Limit der leeren Kette). Zum Beispiel kann in S e t angenommen werden, dass dies die einzige Elementmenge 1 = { ∗ } ist . Die Karte ! T 1 : T 1 → 1 ist der eindeutige Morphismus in das Endobjekt, z. B. wird in S e t einfach jedes Element von T 1 auf ∗ abgebildet . Jedes T n 1 wird durch Iteration von T und T ω 1 berechnet$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$ist die Grenze der Kette davor. Gegebenenfalls kann man dann über hinaus fortfahren . Intuitiv ist T α 1 die Sammlung von α- Stufen-Verhaltensweisen.$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

Nun induziert jede Kohlegebra ( Z , γ ) einen Kegel über dieser Sequenz, dh eine Ansammlung von C- Morphismen b e h α γ : Z → T α 1 für jede Ordnungszahl α . Ich werde sie nur für α < ω definieren :$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

ist die eindeutige Abbildung in das Terminalobjekt.$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

Intuitiv senden diese Karten einen Zustand in zu seinem α- Schritt-Verhalten. Jetzt können wir beschreiben, wovon Sie sprechen. Angenommen, wir haben zwei T- Kohlegebren ( A , γ ) und ( B , δ ) . Dann behält ein C- Morphismus f : A → B das α- Stufen-Verhalten bei, wenn:$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

Das heißt, das Stufen-Verhalten von f ( z ) in δ ist genau das α- Stufen-Verhalten von z in γ .$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Wie auch immer, ich hoffe das ist hilfreich. Sie können verschiedene Referenzen finden, indem Sie 'terminal sequence coalgebra' oder 'final sequence coalgebra' googeln.

In der Regel sollte man eine stark überlastete Terminologie wie schwach, regelmäßig, normal usw. vermeiden, es sei denn, der Begriff hat eine gewisse Universalität. Insbesondere scheint es, dass Ihr Begriff nicht dem üblichen Begriff des schwachen Homomorphismus nach dem Umblättern des Pfeils entspricht.

Es gibt immer aussagekräftigere Begriffe, wenn Sie etwas weniger Universelles tun, wie "beobachtungsbedingt geschwächter Homomorphismus", vielleicht abgekürzt als "OW-Homomorphismus".

Ihr Begriff der Beobachtungsfunktion liefert bereits eine kategorietheoretische Darstellung. Ich würde mir mehr Gedanken darüber machen, was es genau bedeutet und warum es interessant ist, anstatt die größtmögliche Allgemeinheit zu suchen. Insbesondere sollten Sie in der Regel ein informatives und ein nicht exemplarisches Beispiel angeben, wenn Sie ungewöhnliche Begriffe in den Druck einführen.