Grenzen für die Annäherung an Frequenzmomente

Sei eine Folge von ganzen Zahlen, wobei jedes . Für sei. Das te Frequenzmoment ist definiert alsa j ∈ { 1 , 2 , … , n } i ∈ { 1 , 2 , … , n } m i = | { j : a j = i } | $a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

In ihrer bekannten Arbeit Die räumliche Komplexität der Approximation der Frequenzmomente haben Alon et al. Geben Sie einen Streaming-Algorithmus an, der mit ungefähr Raum approximiert . Sie verwenden auch Kommunikationskomplexitätstechniken, um eine Untergrenze von für . Für liefern sie mehr oder weniger übereinstimmende obere und untere Grenzen. O ( n 1 - $F_k$Ω(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$k>5k=0,1,$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Wurden diese Grenzen seitdem verbessert und wurden Fortschritte für ?$k = 3,4,5$

Es gab ein gutes Stück Fortschritt. Für das spezifische Problem von gibt es eine übereinstimmende Ober- und Untergrenze von für . Die oberen Grenzen stammen aus diesem Artikel von Indyk und Woodruff (erschienen in STOC 2005), und die unteren Grenzen stammen aufgrund von Bar-Yossef et al. Und Chakrabarti et al .n 1 - 2 / k k > $F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Für k <= 2

1) k = 0, die Grenze ist von http://people.seas.harvard.edu/~minilek/papers/f0.pdf .$O(1/\epsilon^2+log(n))$

2) k = 1, Das Papier von Alon et al. Gibt einen Verweis auf Papier von Morris, das Raum einnimmt .$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, ich denke, die AMS-Skizze aus ihrem Papier ist optimal

Etwas verwandtes.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$