Voronoi-Diagramm in einer Grafik

Sei ein Graph mit (positiv) gewichteten Kanten. Ich möchte das Voronoi-Diagramm für eine Menge von Knoten / Stellen , um einem Knoten den Teilgraphen von zuzuordnen, der von allen Knoten induziert wird, die genau näher an als an jedem anderen Knoten in , der misst die Länge eines Pfades durch die Summe der Gewichte auf den Bögen. ist die Voronoi-Region von . Zum Beispiel sind die grünen Knoten unten in $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ und die gelben Knoten sind in . Ich möchte die Struktur des Voronoi-Diagramms verstehen. Wie sieht zunächst das Diagramm der beiden Stellen und aus, dh wie sieht die Halbierende mit zwei Stellen aus (im obigen Beispiel blau)? Ich denke an die Winkelhalbierende als das Komplement von in . Hier sind zwei spezifische Fragen: $R(v_2)$
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$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1. Ist die Halbierende zweier Standorte in gewissem Sinne miteinander verbunden?

Q2. Ist konvex in dem Sinne, dass es den kürzesten Weg zwischen zwei beliebigen Knoten in ? $R(v)$ $R(v)$

Sicher wurde dies schon einmal untersucht. Kann jemand Referenzen / Hinweise geben? Vielen Dank!

Nachtrag zu Sureshs Kommentar:
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reference-request graph-theory cg.comp-geom

— Joseph O'Rourke
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Damit Q1 Sinn ergibt, braucht man einen Sinn für Gesichter, oder? Andernfalls befindet sich die "echte" Halbierende in der Mitte der Kanten, und das Einführen von Scheitelpunkten unmittelbar vor und nach diesem Punkt garantiert, dass die Halbierende getrennt wird. Wenn Sie davon ausgehen, dass der Graph akkordisch ist, können Sie möglicherweise etwas beweisen. Was Q2 betrifft: Dies ist selbst für Geodäten in einem Polygon mit Löchern (oder Terrains) falsch. Meine Vermutung wäre, dass Sie etwas ziemlich Starkes in der Grafik annehmen müssen, um eine nicht triviale Antwort auf beide Fragen zu erhalten.

— Sariel Har-Peled

Danke, Sariel, für diese Beobachtungen. Ja, anscheinend habe ich zu viel gehofft, und vielleicht gibt es nur in speziellen Klassen von Graphen schöne strukturelle Eigenschaften.

— Joseph O'Rourke

Ah, auf der regulären Kugel kann eine Voronoi-Zelle nicht größer als eine Halbkugel werden, also haben Sie dieses Problem nicht. Aber mein Kommentar war im Allgemeinen der gleiche wie der von Sariel, da Sie nach der Konvexität von Voronoi-Zellen in einer potenziell generischen Riemannschen Mannigfaltigkeit fragen, und das sollte nicht wahr sein.

— Suresh Venkat

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

Jetzt denke ich also, dass es hier vielleicht eine interessante Frage gibt. Was ist, wenn die zugrunde liegende Metrik eine Mannigfaltigkeit ist (wie von Suresh vorgeschlagen)? Nun verbinden wir zwei Punkte genau dann, wenn es einen dritten Punkt q gibt, so dass die anderen beiden Punkte die beiden nächsten Nachbarn sind (stellen Sie sich dies als eine Art Zeugenkomplex vor). Eine natürliche Vermutung wäre, dass man, wenn sich der Verteiler verdoppelt, immer O (1) -Punkte hinzufügen kann, so dass die Winkelhalbierende verbunden ist. Hmmm ...

— Sariel Har-Peled

Mehlhorn, K.: Ein schnellerer Approximationsalgorithmus für das Steiner-Problem in Graphen. Information Processing Letters 27, 125–128 (1988)

Erwig, M.: Das Diagramm Voronoi-Diagramm mit Anwendungen. Networks 36 (3), 156–163 (2000)

beide Referenzen kopiert von

Matthew T. Dickerson, Michael T. Goodrich, Thomas D. Dickerson und Ying Daisy Zhuo: Voronoi-Runddiagramme und Verdoppelung der Dichte in geografischen Netzwerken. Transactions on Computational Science 14: 211 & ndash; 238 (2011)

— David Eppstein
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Dies erfordert einige Grabungen, aber oberflächlich betrachtet scheinen in diesen Arbeiten nicht viele strukturelle Eigenschaften des Diagramms identifiziert worden zu sein (möglicherweise, weil es nur wenige bemerkenswerte Eigenschaften gibt!).

— Joseph O'Rourke

in der Tat scheint nicht viel bekannt zu sein; Wir haben noch ein oder zwei Deckspelzen

— Christian Sommer