Erstellen einer Baumzerlegung mit minimaler Breite in polynomieller Zeit

Bekanntlich besteht eine Baumzerlegung eines Graphen aus einem Baum mit einem zugehörigen Sack für jeden Eckpunkt , der die folgenden Bedingungen erfüllt: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Jeder Scheitelpunkt von kommt in einem Beutel von . $G$ $T$
Für jede Kante von gibt es eine Tasche, die beide Endpunkte der Kante enthält. $G$
Für jeden Scheitelpunkt , der Beutel enthält , einen verbundenen Teilbaum induziert . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Wir können auch die folgende Bedingung verlangen, genannt Magerkeit , aus unserer Zersetzung:

Für jedes Beutelpaar , von , wenn und mit , dann gibt es entweder a) vertex-disjunkte Pfade in oder b) der Baum enthält eine Kante auf dem Pfad von Knoten zu Knoten so dass $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ und die Menge schneidet alles Pfade in . $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas hat gezeigt, dass es immer eine Baumzerlegung mit minimaler Breite gibt, die auch mager ist, und einfachere Beweise für diese Tatsache wurden von mehreren Autoren geliefert, zum Beispiel von Patrick Bellenbaum & Reinhard Diestel .

Was mich interessiert, ist die folgende: Da ein Graph und eine Minimalbreite Baumzerlegung von können wir eine Minimalbreite finden schlanke Baumzerlegung von in Polynomzeit? $G$ $G$ $G$

Die beiden genannten Beweise liefern keine so effiziente Konstruktivität. In der Arbeit von Bellenbaum und Diestel wird erwähnt, dass "ein weiterer (konstruktiverer) kurzer Beweis für den Satz von Thomas in P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universität Hamburg 2000" gegeben wurde. Leider konnte ich das Manuskript nicht online finden und mein Deutsch ist nicht so gut.

— Bart Jansen
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Gute Frage. Das Auffinden einer Baumzerlegung mit minimaler Breite ist NP-schwer, daher ist Ihr Problem etwas schlecht gestellt (es scheint). Meine Vermutung wäre, dass man dies für einen begrenzten Baumbreitenfall oder im Sinne einer Annäherung verlangen kann.

— Chandra Chekuri

Aber in seinem Fall hat er gegeben eine min-width Baumzerlegung und er will einen Algorithmus , um es mager zu machen.

— Suresh Venkat

@ SureshVenkat: Mir ist klar, dass er eine Baumzerlegung mit minimaler Breite erhält, aber wie können Sie überhaupt überprüfen, ob diese korrekt ist? Darüber hinaus passt sich eine magere Baumzerlegung lokal an die Baumbreite verschiedener Teile des Graphen an, so dass eine optimale Baumzerlegung des globalen Graphen nicht das Problem vermeidet, die Baumbreite der lokalen Teile zu finden, die hart sind.

— Chandra Chekuri

Glatte Baumzerlegungen (bei denen alle Säcke die gleiche Größe haben und zwei benachbarte Säcke sich um genau einen Scheitelpunkt unterscheiden) sind viel einfacher zu handhaben als allgemeine Baumzerlegungen, und es ist leicht zu erkennen, dass es immer eine Baumzerlegung mit minimaler Breite gibt, die glatt ist . Vielleicht können Sie eine effiziente Konstruktion erzielen, indem Sie eine der bekannten Konstruktionen auf diese beschränken. Gibt es immer eine Baumzerlegung mit minimaler Breite, die glatt und mager ist?

— Diego de Estrada

@ChandraChekuri Ich gehe davon aus, dass das Überprüfungsproblem behoben ist, wenn Sie es als ein Versprechungsproblem ausdrücken, aber ich sehe Ihren Punkt darin, dass eine Baumzerlegung nicht unbedingt genug Informationen für die Anpassung liefert. Die folgende Frage könnte jedoch plausibel sein: Gibt es eine Möglichkeit, eine bestimmte Baumzerlegung "lokal" zu ändern, um sie "schlank" zu machen, ohne die Baumbreite zu erhöhen?

— Suresh Venkat

$G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
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Guter Punkt. Wissen Sie, ob etwas über parametrisierte und / oder mäßig exponentielle Zeitalgorithmen zum Auffinden von Magerbaumzerlegungen bekannt ist?

— Bart Jansen