Automatisierter Satz in linearer Logik

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Ist die automatische Beweis- und Beweisrecherche für Theoreme in linearen und anderen aussagenbezogenen substrukturellen Logiken, denen die Kontraktion fehlt, einfacher?

Wo kann ich mehr über das automatische Beweisen von Theoremen in diesen Logiken und die Rolle der Kontraktion bei der Beweissuche lesen?

— Anonym
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Weitere Quellen finden Sie in Kaustuv Chaudhuris Dissertation " Die fokussierte inverse Methode für lineare Logik ". Vielleicht interessieren Sie sich auch für Roy Dyckhoffs " Kontraktionsfreie Sequenzkalküle ", bei denen es um Kontraktion geht, nicht aber um lineare Logik.

Es gibt Möglichkeiten für eine effiziente Beweissuche in der linearen Logik, aber ich glaube nicht, dass die aktuelle Arbeit zeigt, dass es einfacher ist als die Beweissuche in der nicht-substrukturellen Logik. Das Problem ist, dass Sie, wenn Sie in linearer Logik beweisen , eine zusätzliche Frage haben, die Sie bei der normalen nicht haben: verwendet, um zu beweisen, oder wird verwendet, um zu beweisen ? In der Praxis ist dieser "Ressourcennichtdeterminismus" ein großes Problem bei der Durchführung einer Beweissuche in linearer Logik. $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

Laut den Kommentaren ist Lincoln et al. 1990 " Entscheidungsprobleme für die Lineare Aussagenlogik " eine gute Referenz, wenn Sie sich mit Begriffen wie "Einfacher" vertraut machen möchten.

— Rob Simmons
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Ist die Proof-Suche in LL nicht schwieriger als in IL? ISTR, die klassische Aussagenlogik ist NP-vollständig, die intuitionistische Aussagenlogik ist PSPACE-vollständig und die intuitionistische lineare Logik (mit

) ist unentscheidbar.

! A

$!A$

— Neel Krishnaswami

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@Neel: Exponentials sind ein Hilfsmittel, um die Kontraktion wieder einzuschleichen. Außerdem verhalten sich die additiven Konnektive intern so, als ob sie eine Kontraktion hätten, sodass Sie diese auch nicht wollen. Was Ihnen bleibt, ist MLL, das in der Tat NP-vollständig ist (im Gegensatz zu klassischer Logik, die nicht NP-vollständig ist, wie Sie sagten, sondern coNP-vollständig). Insbesondere hat jede MLL-Tautologie einen Polynomgrößenbeweis. Dieser Beweis ist jedoch nicht leicht deterministisch zu finden, wie Rob erklärt (was gut ist, da NP nicht in einer subexponentiellen Zeit sein soll.)

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

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Sie beide weisen darauf hin, dass ich sehr informell darüber gesprochen habe, warum lineare Logik "nicht einfacher" ist - in einem formalen Sinne ist die MALL-Proof-Suche schwieriger und die vollständige Suche nach linearer Logik noch schwieriger. Die meisten, wenn nicht sogar alle Ergebnisse, auf die Sie sich beziehen, stammen von Lincoln et al. In der Arbeit "Decision Problems for Propositional Linear Logic" von 1990.

— Rob Simmons

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@Emil - Ich hatte mich noch nie auf diesen interessanten Unterschied zwischen MLL und klassischer Logik festgelegt. MLL ist in NP , weil sie Zeugen klein sein muss ... aber klassische Aussagen sequent Beweise müssen nicht sein Polynom-Größe (und ich denke , kann nicht im Allgemeinen, sei

auf die richtige Größe). Was ist der polynomische Zeuge dafür, dass es keinen klassischen Folgebeweis für

?

c u t

$\it cut$

A

$A$

— Rob Simmons

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@ Rob Simmons: eine befriedigende Aufgabe für seine Verneinung.

— Kaveh

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Nein, es wird immer schwieriger.

So wie das Entscheidungsproblem für die intuitionistische Aussagenlogik schwieriger ist als für die klassische Aussagenlogik, so ist es für die lineare Aussagenlogik noch schwieriger. Entweder mit Exponentialen (denen es nicht an Kontraktion mangelt) oder mit verschiedenen Arten von nicht kommutativen Konnektiva wird die Logik unentscheidbar, und selbst die schwächelnde klassische MALL ist PSPACE-vollständig. Im Gegensatz dazu ist das Entscheidungsproblem für die klassische Aussagenlogik co-NP vollständig und für die intuitionistische Aussagenlogik PSPACE vollständig. (Nebenbei kenne ich die Komplexität des intuitionistischen MALL nicht.)

Ich empfehle Pat Lincolns Darstellung in Abschnitt 6 seiner linearen Logik , SIGACT News 1992. Wir haben seitdem ein bisschen mehr gelernt, das heißt, wir haben Ergebnisse für eine große Familie linearer Logiken, aber das Grundbild ist da.

In gewisser Weise macht dies die Beweissuche nach linearer Logik interessant, da die Härte des Entscheidungsproblems Platz für interessantere Begriffe der Berechnung macht und lineare Logik auf so viele verschiedene Arten schwierig ist. Andrej wies auf Dale Millers Eine Übersicht über die lineare Logikprogrammierung hin ; Dies ist ein guter Ort, um nachzuschauen, da Miller mehr unternommen hat, um die Idee der Proof-Suche als Berechnung zu entwickeln als jeder andere.

— Charles Stewart
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@ Kaveh: Falsche Erinnerung statt Tippfehler; Fest. Ich sollte MLL erwähnen.

— Charles Stewart

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Unter der Annahme, dass die Komplexität des Beweisbarkeitsproblems Sie zufriedenstellen würde, ist die Landschaft der Komplexitäten der Substrukturlogik mit und ohne Kontraktion etwas komplex. Ich versuche hier zu überblicken, was für aussagenlineare Logik und aussagenlogik bekannt ist. Die kurze Antwort ist, dass die Kontraktion manchmal hilft (z. B. LLC ist entscheidbar, während LL nicht hilft) und manchmal nicht (z. B. MALL ist PSPACE-vollständig, MALLC ist ACKERMANN-vollständig).

Aussagenlogik

CL: klassische Logik
IL: Intuitionistische Logik
LL: lineare Logik, Fragmente MLL (multiplikativ), MELL (multiplikativ exponentiell), MALL (multiplikativ additiv)
LLW: affine Logik, dh LL mit Schwächung, gleiche Fragmente wie oben
LLC: Kontraktive lineare Logik, dh LL mit Kontraktion, gleiche Fragmente wie oben
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

Komplexität der Beweisbarkeit

NP-vollständig: MLL [Kan91]
Co-NP-vollständig: CL
PSPACE-komplett: IL [Sta79], MALL [Lin92]
$_\to$
TURM-komplett: MELLW, LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

Verweise

[Kan91] Max Kanovich, Das multiplikative Fragment der linearen Logik ist NP-vollständig , Forschungsbericht X-91-13, Institut für Sprache, Logik und Information, 1991.
[Laz14] Ranko Lazić und Sylvain Schmitz, nicht-elementare Komplexität für die Verzweigung von VASS, MELL und Extensions , Manuskript, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
[Lin92] Patrick Lincoln, John Mitchell, Andre Scedrov und Natarajan Shankar, Entscheidungsprobleme für die aussagenlineare Logik , Annals of Pure and Applied Logic 56 (1-3): 239-311, 1992. 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz, Implikationsrelevanzlogik ist 2-ExpTime-vollständig , Manuskript, 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
[Sta79] Richard Statman, Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete , Theoretical Computer Science 9 (1): 67–72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart, The Undecidability of Entailment und Relevant Implication , Journal of Symbolic Logic 49 (4): 1059–1073, 1984. doi: 10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart, Die Komplexität von Entscheidungsverfahren in der Relevanzlogik II , Journal of Symbolic Logic 64 (4): 1774–1802, 1999. 10.2307 / 2586811

— Sylvain
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Vielleicht ist Dale Millers Überblick über die lineare Logikprogrammierung ein guter Ausgangspunkt?

— Andrej Bauer
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