Regelmäßiger Graph mit hohem Umfang mit einer „lokal einheitlichen“ Gesamtreihenfolge auf Knoten

Definitionen

Sei und sei d , r und g positive ganze Zahlen (mit g > 2 r + 1 ).$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Sei ein einfacher, d- regelmäßiger, ungerichteter, endlicher Graph mit einem Umfang von mindestens g .$G = (V,E)$$d$$g$

Lassen ein Gesamtauftrag auf sein V .$\le$$V$

Für jedes sei V v ⊆ V aus den Knoten, die sich innerhalb des Abstands r von v in G befinden (der kürzeste Weg von v zu einem beliebigen u ∈ V v hat höchstens r Kanten), und sei G v der Untergraph von G induziert durch V v . Denken Sie daran, dass wir angenommen haben, dass G einen hohen Umfang hat; daher ist G v ein Baum. Sei ≤ v die Beschränkung von ≤ auf$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ .$V_v$

Wir sagen , dass eine Kante ist gut , wenn ( G u , ≤ u ) und ( G v , ≤ v ) isomorph ist. Das heißt, es gibt eine Bijektion f : V u → V v , die die Nachbarschaften bewahrt ( { x , y } ∈ E iff { f ( x ) , f ( y $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) und Ordnung ( x ≤ y iff f ( x ) ≤ f ( y ) ). Ansonsten ist eine Kanteschlecht.$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Wir sagen , dass ist ε -gut , wenn es zumindest ( 1 - ε ) | E | gute Kanten.$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Frage

Sei . Gibt es ein ϵ- gutes Paar ( G , ≤ ) für jedes ϵ > 0 und jedes r und g (mit r ≪ g )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Bemerkungen:

• Ich würde gerne die Antwort für ein allgemeines wissen , aber d = 4 ist der erste nicht triviale Fall.$d$$d = 4$

• Die Größe von spielt keine Rolle, solange es endlich ist. Ich brauche keine Konstruktion von G ; bloße Existenz oder Nichtexistenz ist ausreichend.$G$$G$

Beispiele

• Wenn , lautet die Antwort "Ja". Wir können einfach einen ausreichend langen Zyklus nehmen und die Knoten entlang des Zyklus ordnen. Es gibt einige schlechte Kanten in der Nähe der Kante, die den größten und den kleinsten Knoten verbindet, aber alle anderen Kanten sind gut: Für fast alle Knoten v ist das Paar ( G v , ≤ v ) nur ein Pfad mit 2 r + 1 Knoten in eine zunehmende Ordnung.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Wenn , lautet die Antwort "Ja". Nehmen Sie einfach ein normales Diagramm mit hohem Umfang.$r = 0$

• Wenn ausreichend klein ist, lautet die Antwort "Ja" für jedes gerade d . Nehmen Sie einfach ein ( d / 2 ) -dimensionales Gitterdiagramm (mit umrandeten Grenzen, um es d- regelmäßig zu machen ) und ordnen Sie die Knoten lexikografisch nach ihren Koordinaten. Wieder haben wir einige schlechte Kanten in der Nähe der Gittergrenzen, aber wir können die Anzahl der schlechten Kanten beliebig klein machen.$g$$d$$(d/2)$$d$

• Wenn nicht endlich sein muss, lautet die Antwort für jedes gerade d "Ja" . Ein regulärer unendlicher Baum hat eine Gesamtordnung, so dass alle Kanten gut sind.$G$$d$

• $d$$r$

Hintergrund

(Dieser Abschnitt kann sicher übersprungen werden.)

Die Frage bezieht sich auf die Grundlagen des verteilten Rechnens und insbesondere auf lokale Algorithmen .

$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Für viele klassische Graphprobleme ist bekannt, dass eine Gesamtreihenfolge nicht hilft (viel schwächere Beziehungen liefern im Wesentlichen die gleiche Menge an symmetriebrechenden Informationen), aber einige Fälle sind noch offen - und ein allgemeines Ergebnis, das den Fall aller Hoch- abdeckt. Umfangsgraphen könnten ein Durchbruch sein.

$(G,\le)$

$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Einzelheiten finden Sie unter arXiv: 1201.6675 .