Berechnen von Entfernungen mit einer Annäherung von weniger als 2 in allgemeinen Diagrammen?

Bei einem gewichteten ungerichteten Graphen mit Kanten möchte ich Näherungsabstände von weniger als 2 zwischen einem gegebenen Eckpunktpaar berechnen. Natürlich möchte ich subquadratischen Raum und sublineare Abfragezeit verwenden. $m = o(n^2)$

Ich bin mir des Ergebnisses von Zwick bewusst, das die Matrixmultiplikation verwendet, aber ich bin gespannt, ob für dieses Problem kombinatorische Algorithmen bekannt sind.

ds.algorithms graph-algorithms

— Siddhartha
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Hallo @Siddhartha, es tut mir leid, wenn dies eine dumme Frage ist: Zwicks Ergebnis scheint quadratischen Raum zu verwenden, ist das richtig?

— Hsien-Chih Chang 10 之

Ist auch ein additiver Fehler zulässig?

— Hsien-Chih Chang 10 之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - Ich war nur an Ergebnissen zur multiplikativen Approximation interessiert. Der Fall der additiven Approximation mag an sich schon interessant sein - einfacher für dichte Graphen, denke ich. Man kann einen Schraubenschlüssel verwenden und eine additive Näherung für ausreichend dichte Graphen erhalten. Bei spärlichen Grafiken würden, soweit ich weiß, Schraubenschlüssel nicht helfen.

— Siddhartha

Funktioniert das folgende Argument nicht? Betrachten Sie einen Graphen mit Eckpunkten und Kanten. Betrachten Sie alle Gewichte der Kanten als . Jedes Distanzorakel, das eine strikt bessere Annäherung als erzielen kann, kann verwendet werden, um für jede mögliche Kante zu entscheiden, ob sie in der Grafik enthalten ist oder nicht. Aber das impliziert natürlich, dass ein solches Distanzorakel -Bits verwenden muss. Nein? (Das Argument ist ein bisschen handgewellt, sollte aber korrekt sein.) (Formal ist die Anzahl der Bits , wobei . Dies ist .

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sariel Har-Peled

Danke Sariel - es ist möglich, eine -Untergrenze abzuleiten , aber damit bin ich einverstanden . Alles, was ich haben möchte, ist subquadratischer Raum und sublineare Abfragezeit. Bei Graphen mit Kanten sagt die untere Grenze von nichts für das Problem aus - stimmt das?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

Antworten:

Soweit ich weiß, gibt es kein veröffentlichtes Ergebnis zur Berechnung von Approximationsabständen von weniger als 2 im subquadratischen Raum und in der sublinearen Abfragezeit. Um ungefähre Entfernungen schnell abzurufen, sollten Sie sich die Ergebnisse und Referenzen in "Schnellere Algorithmen für alle Paare, ungefähre kürzeste Pfade" von Baswana und Kavitha ansehen (die Journalversion ihres FOCS-Papiers enthält eine gute Übersicht über verwandte Arbeiten). Keiner von diesen erreicht einen subquadratischen Raum.

Wenn Sie ungefähre Entfernungen kompakt abrufen möchten, sollten Sie sich die Ergebnisse und Referenzen in den beiden oben genannten Abhandlungen ansehen. [Als Ergänzung zur Antwort von Gabor ein Wort der Vorsicht: Seien Sie vorsichtig mit dem Begriff der Sparsamkeit in den obigen Abhandlungen - für Annäherung wird ein Graph als spärlich bezeichnet, wenn , wie Sie wahrscheinlich schon wissen]. $2$ $m = o(n^2)$

Wie oben Sariel wies in einem der Kommentare aus, ein natürlicher zur Berechnung von Entfernungen Approximation auf Raum untere Grenze von weniger als ist , die linear in der Größe des Graphen ist. Wenn die Abfragezeit nicht begrenzt ist, kann diese Untergrenze nicht verbessert werden (trivial kann man den Algorithmus für den kürzesten Pfad verwenden, indem man nur das Diagramm speichert). Für eine konstante Abfragezeit kenne ich zwei Untergrenzen. Erstens hatten Patrascu und Roddity in ihrem FOCS 2010-Papier einige bedingte Untergrenzen, die für eine Annäherung von weniger als . Zweitens haben Sommer et. al. hatte einige Untergrenzen für extrem spärliche Graphen. Mir sind keine anderen (nicht trivialen) Untergrenzen bekannt. $2$ $\Omega(m)$ $2$

In Bezug auf die Obergrenzen scheinen die Ergebnisse der obigen Arbeiten nicht auf eine Annäherung von weniger als zu verallgemeinern . Wir haben kürzlich einige Fortschritte bei diesem Problem erzielt. Das Papier sollte bald auf ArXiv sein, aber wenn Sie möchten, senden Sie mir eine E-Mail und ich werde das Papier gerne teilen. $2$

Hoffe das hilft.

~ Rachit Agarwal

— Rachit
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Vielleicht interessieren Sie sich für das INFOCOM-Papier 2011 von Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Ungefähre Entfernungsabfragen und kompaktes Routing in spärlichen Graphen, IEEE INFOCOM 2011

Aus der Zusammenfassung:

[Für einen] Graphen mit durchschnittlichem Grad rufen Sonderfälle unserer Datenstrukturen Streckenpfade mit Raum [...] auf Kosten von Abfragezeit. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Beachten Sie, dass ihr Distanzorakel nur für spärliche Graphen gilt, der gebundene logarithmische Grad jedoch plausibel erscheint. Zusätzlicher Bonus, der Algorithmus funktioniert auch für gewichtete Diagramme.

— Gabor Retvari
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Vielleicht möchten Sie auch einen Blick darauf werfen

Pătraşcu, Roditty, Distanz-Orakel jenseits des Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

Sie haben ein Distanzorakel der Größe mit Stretch 2. Es unterstützt Abfragen in konstanter Zeit. $O(n^{5/3})$

— Zotachidil
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Vielen Dank! Das Papier von Agrawal und Mihai scheint nichts über Annäherung "weniger als" 2 zu sagen, es sei denn, ich habe etwas verpasst.

— Siddhartha

Es ist nicht so, aber es könnte Ihnen eine Vorstellung davon geben, wie Sie einen Kompromiss erzielen können, um die Dehnung zu verbessern.

— Zotachidil