Entscheiden, ob eine gegebene

Wie ist die Entscheidung, ob eine Schaltung mit Eingangsbits und Ausgangsbits eine Permutation von berechnet ? mit anderen Worten, ob jede Bitfolge in ein Ausgang der Schaltung für eine Eingabe ist? Es sieht aus wie ein Problem, das untersucht wurde, aber ich kann keine Referenzen finden. nn{0,1 } n {0,1 } $\mathsf{NC}^0$$n$$n$$\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$

Härte

Nach Ihrem Kommentar zu dieser Frage werden wir eine Schaltung, bei der jedes Ausgangsbit von höchstens k Eingangsbits abhängt, als „NC ⁰ _k- Schaltung“ bezeichnen. Mit diesem Begriff ist Ihr Problem bei NC ⁰ _5- Schaltungen coNP-vollständig . Das heißt, das folgende Problem ist coNP-vollständig.

Instanz : Eine Boolesche Schaltung C mit n Eingangsbits und n Ausgangsbits, wobei jedes Ausgangsbit von höchstens fünf Eingangsbits abhängt.
Frage : Wird die Abbildung von {0,1} ⁿ auf sich selbst durch C- Bijektiv berechnet ?

Wie Kaveh bemerkte, ist es eindeutig in coNP, auch ohne die Begrenzung der Anzahl der Eingabebits, von denen jedes Ausgabebit abhängt. Um die coNP-Härte zu beweisen, werden wir 3SAT auf das Komplement des aktuellen Problems reduzieren. Die Schlüsselidee der Reduktion ist die gleiche wie in dem Artikel [Dur94] von Durand, den ich in einem Kommentar zu der Frage erwähnt habe, aber die gesamte Reduktion ist in unserem Fall viel einfacher.

Wenn eine 3CNF-Formel φ mit n Variablen und m Klauseln gegeben ist, konstruieren wir eine Boolesche Schaltung C mit ( n + m ) Eingangsbits und ( n + m ) Ausgangsbits wie folgt. Wir bezeichnen die Eingangsbits als x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m und die Ausgangsbits als x ' ₁ , ..., x ' _n , z ₁ , ..., z _m . Wir betrachten die Eingangsbits x₁ ,…, x _n spezifizieren eine Wahrheitszuordnung zu den n Variablen in φ .

• x ' _i = x _i für 1 ≤ i ≤ n . Das heißt, die ersten n Eingangsbits werden immer in die ersten n Ausgangsbits kopiert .
• Für 1 ≤ i ≤ m gilt , wenn die i- te Klausel von φ erfüllt ist, z _i = y _i ⊕ y _{i +1} , wobei der Index modulo m interpretiert wird . Ansonsten ist z _i = y _i .

Es ist zu beachten, dass jedes Ausgangsbit von höchstens fünf Eingangsbits abhängt. Ich lasse den Beweis der Richtigkeit der Reduktion aus, aber die Schlüsselidee (die ich aus [Dur94] entlehnt habe) ist, dass, wenn φ erfüllt ist und die Eingabebits x ₁ , ..., x _n auf eine zufriedenstellende Zuweisung von φ gesetzt sind die m Ausgangsbits z ₁ , ..., z _m gezwungen sind , die gerade Parität zu haben, und daher kann die Schaltung nicht eine Permutation ist. Wenn andererseits die Eingangsbits x ₁ , ..., x _n auf eine nicht zufriedenstellende Zuordnung von φ gesetzt sind , werden die Ausgangsbits z ausgegeben₁ ,…, z _m kann auf alles gesetzt werden; aus diesem Grund ist die Schaltung eine Permutation , wenn φ nicht befriedigend ist.

Lenkbarkeit

Tractable-seitig liegt das Problem bei NC ⁰ _2- Stromkreisen bei P. Dies wird wie folgt gezeigt. Im Allgemeinen ist jedes Ausgangsbit in einer Booleschen Schaltung für eine Permutation ausgeglichen ; Das heißt, genau die Hälfte der Eingabezeichenfolgen setzt das Ausgabebit auf 1. Jede ausgeglichene Boolesche Funktion von {0,1} ² bis {0,1} ist jedoch affin . dh eine Kopie eines einzelnen Eingangsbits, des XOR der beiden Eingangsbits oder deren Negation. Daher können wir zuerst überprüfen, ob jedes Ausgangsbit ausgeglichen ist, und dann die Bijektivität durch die Gaußsche Eliminierung überprüfen.

Ich kenne die Komplexität bei NC ⁰ _3- Stromkreisen oder bei NC ⁰ _4- Stromkreisen nicht.

Verweise

[Dur94] Bruno Durand. Inversion von 2D-Zellularautomaten: Einige Komplexitätsergebnisse. Theoretical Computer Science , 134 (2): 387–401, Nov. 1994. DOI: 10.1016 / 0304–3975 (94) 90244–5 .