Können wir eine schwache Normalisierung für System F durch Induktion auf einer transfiniten Ordnungszahl nachweisen?

16

Eine schwache Normalisierung für die einfache typisierte Lambda-Rechnung kann durch Induktion auf bewiesen werden (Turing) . Ein erweiterter Lambda-Kalkül mit Rekursoren auf natürlichen Zahlen (Gentzen) hat eine schwache Normalisierungsstrategie durch Induktion auf . $\omega^2$ $\epsilon_0$

Was ist mit System F (oder schwächer)? Gibt es einen schwachen Normalisierungsbeweis in diesem Stil? Wenn nicht, kann das überhaupt gemacht werden?

— Kaveh
quelle

1

Es ist wahrscheinlich nützlich zu bemerken, dass jede konsistente (zählbare) Theorie mit ausreichender Aussagekraft "eine" beweistheoretische Ordinale hat, die kleiner ist als

definiert als die kleinste berechenbare Ordinale, die in der gegebenen Theorie nicht nachweislich begründet ist. Der Trick besteht darin, diese Ordnungszahl auf "natürliche" Weise zu beschreiben.

ω_{C K}

$\omega_{\mathrm{CK}}$

— Cody

10

Die umfassendste Übersicht über die Beziehung zwischen der konstruktiven Beweistheorie (die eng mit der Theorie der konstruktiven Ordnungszahlen verknüpft ist) und der improvisierten Arithmetik zweiter Ordnung (die, wie Ulrik hervorhebt, der Stärke von System F entspricht) ist Girard (1989). Dort baut er auf seiner Theorie der Dilatatoren (1981) auf, der ich nicht wirklich folge, aber ich denke, dass sie im Wesentlichen eine nichtkonstruktive Theorie der Skolemisierung höherer Ordnung liefert.

Ich verstehe, dass Sie -Formeln nicht konstruktiv im Sinne von Bischof-Martin-Löf ausdrücken können , weil sie so aussagekräftig sind, dass Sie sie nicht durch Hinzufügen eines Induktionsschemas erster Ordnung eliminieren können. $\Sigma^1_2$

Ich erinnere mich, dass ich einem Ordinaltheoretiker vorschlug , man könnte einfach festlegen, dass man einen improvisierten Konstruktivismus in einer auf dem polymorphen Lambda-Kalkül basierenden Typentheorie begründen und mit der Reduktionskandidatentechnik aus Girards SN-Beweis für System F eine vernünftige Gesamtordnung auferlegen kann das Universum der Konstruktionen, das die Äquivalenzklassen nennt, die man daraus erhält, die Ordnungszahlen; Er sagte etwas Intelligentes, das ich weggenommen hatte, um zu sagen, Sie könnten es zum Laufen bringen, aber es hätte alle Vorteile von Diebstahl gegenüber ehrlicher Mühe. Um es zum Laufen zu bringen, ist es nicht gut genug, dass Sie in der Mengenlehre die Existenz solcher Ordnungszahlen nachweisen können, Sie würden einen konstruktiven Nachweis der Trichotomie für die Bestellung benötigen.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die mir bekannte Literatur mit dem regulären Begriff des intuitionistischen Aufbaus durch Bischof-Martin-Löf Nein nahe legt. Wenn Sie ehrlicher Mühe abgeneigt sind und einen improvisierten Konstruktivismus befürworten, dann kann das wahrscheinlich gemacht werden. Natürlich benötigen Sie eine stärkere Theorie als System F, um die erforderliche Trichotomie konstruktiv zu beweisen, aber die Berechnung induktiver Konstruktionen bietet einen offensichtlichen Kandidaten.

Verweise

Girard, Jean-Yves (1981), -logic. I. Dilatatoren, Annalen der mathematischen Logik 21 (2): 75–219. $\Pi^1_2$
Girard (1989) Proof Theory and Logical Complexity, vol. Ich , Napoli: Bibliopolis. Es gibt keinen Band II.

— Charles Stewart
quelle

13

Auf eine sehr dumme Weise kann eine schwache Normalisierung für jedes vernünftige System durch Induktion auf einer konstruktiven Ordnungszahl bewiesen werden, vorausgesetzt natürlich, dass eine schwache Normalisierung gilt. Tatsächlich ist die Aussage, dass System F eine schwache Normalisierung hat, in der Arithmetik als -Satz formalisierbar und als solche (da es wahr ist) durch transfinite Induktion entlang einer nicht natürlichen konstruktiven Ordinalnotation der Höhe . ( Informationen zur Funktionsweise dieser Reihenfolge finden Sie in dieser Frage zum Austausch von Mathematikstapeln.) $\Pi^0_2$ $\omega^2$

$\varepsilon_0$ $\Gamma_0$

Hoffentlich wird irgendwann jemand eine Ordinalnotation für Arithmetik zweiter Ordnung finden, der alle zustimmen, und die dann auf ehrliche Weise verwendet werden könnte, um eine schwache Normalisierung für System F zu beweisen.

— Ulrik Buchholtz
quelle

11

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Darüber hinaus denke ich, dass die Arithmetik zweiter Ordnung ziemlich stark ist und dass noch keine konstruktive obere Schranke für ihre "beweistheoretische Ordnungszahl" bekannt ist ( Die Kunst der Ordnungsanalyse, Abschnitt 3 ).

Ich denke, diese konstruktive Ordnungszahl ist notwendig, um die von Ihnen gewünschte Induktion durchzuführen.

— Apfel
quelle