Berechnung der Cheeger-Konstante: Für welche Klassen machbar?

19

Die Berechnung der Cheeger-Konstante eines Graphen , auch als isoperimetrische Konstante bekannt (da es sich im Wesentlichen um ein Mindestverhältnis von Fläche zu Volumen handelt), ist bekanntermaßen NP-vollständig. Im Allgemeinen ist es angenähert. Ich bin daran interessiert zu erfahren, ob genaue Polynomalgorithmen für spezielle Klassen von Graphen bekannt sind. Ist es beispielsweise für reguläre Diagramme immer noch NP-vollständig ? Für entfernungsregelmäßige Graphen ? (Ich habe die vorhandenen NP-Vollständigkeitsnachweise nicht untersucht, um ihre Annahmen zu überprüfen.) Literaturhinweise sind dankbar - danke!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Joseph O'Rourke
quelle

3

das ist eine schöne frage Haben die Annäherungen etwas mit den dünnsten Schnittmethoden zu tun?

— Suresh Venkat

1

Ich weiß, dass dies eine alte Frage ist, aber ich habe mich gefragt, ob jemand eine Polynom-Zeit-Näherung für allgemeine Graphen kennt, die die Konstante innerhalb eines festgelegten Prozentsatzes erhalten.

— Yberman

11

Beachten Sie, dass die Approximation des dünnsten Schnitts innerhalb von eine Approximation für die definierte Cheeger-Konstante ergibt . Hier sind einige Artikel, die konstante Approximationsalgorithmen für den dünnsten Schnitt in eingeschränkten Diagrammen liefern: $\alpha$ $2\alpha$

Eingeschränkte Gattung: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Begrenzte Baumbreite: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Darüber hinaus beweist http://arxiv.org/abs/1006.3970v2, dass der spärlichste Schnitt für Diagramme mit Pfadbreite 2 NP-schwer ist, und enthält einige weitere Verweise auf die Annäherung des spärlichsten Schnitts für eingeschränkte Instanzen.

Ich würde davon ausgehen, dass für alle in der Veröffentlichung erwähnten Klassen von Diagrammen keine genauen Algorithmen bekannt sind (da sie an Annäherungen interessiert sind). Insbesondere wenn der dünnste Schnitt für Diagramme mit Pfadbreite 2 NP-hart ist, ist er auch für Diagramme mit Baumbreite 2 und Schnittbreite 2 NP-hart. Ich nehme an, dass dies nicht viel Platz bietet. Vielleicht gibt es noch einen besseren Parametrierung für dünnsten Schnitt.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass der dünnste Schnitt in normalen Diagrammen NP-hart ist, kann aber keine Referenz finden.

Per bemerkte, dass ich nicht aufpasste, als ich mir die Papiere oben ansah. Die Härte ergibt sich für ungleichmäßig dünnste Schnitte. Die Berechnung des gleichmäßig dünnsten Schnitts oder der Cheeger-Konstante ist für Bäume einfach (WLOG, der optimale Schnitt trennt einen Teilbaum). Mit ein wenig mehr Arbeit ergibt sich ein dynamischer Programmieralgorithmus zur Berechnung der Cheeger-Konstante auf beschränkten Baumbreitengraphen.

In der obigen Tabelle 1 in Papier 2 ist auch ein Ergebnis aufgeführt, das eine konstante Annäherung für Diagramme mit ausgeschlossenem Nebenfach ergibt.

$O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Sasho Nikolov
quelle

Können Sie nicht einfach ein Diagramm regelmäßig machen, indem Sie Self-Loops hinzufügen?

— MCH

2

@MCH auf diese Weise ungerade Grad Ecken bleiben ungerade Grad und gerade Grad Ecken bleiben gerade Grad

— Sasho Nikolov

1

Das Härteergebnis, das Sie für Pfadbreite 2 angeben, gilt für den ungleichmäßig dünnsten Schnitt, der für die Cheeger-Konstante nicht relevant ist. Soweit ich sehen kann, ist es in der Tat einfach, entweder den gleichmäßig dünnsten Schnitt oder die Cheeger-Konstante genau in Diagrammen mit begrenzter Baumbreite zu berechnen.

— Per Austrin

5

Für eine genaue Lösung in ebenen Diagrammen siehe Park und Phillips, STOC 93 . Dies gilt im Wesentlichen für die Uniform-Anforderungen mit dem geringsten Unterschied, dass ihr Nenner | S | ist anstelle von | S | * | VS |. Wie Per hervorhob, ist der Fall von ungleichmäßigen Anforderungen ein anderer.

— Robert Krauthgamer
quelle