Multiplikation von zirkulierenden Matrizen mit einer Diagonalmatrix

Sei , eine Folge von zirkulierenden Matrizen der Größe . $A_{i}$ $B_{i}$ $n \times n$

Wir wissen, dass in quadratischer Zeit berechnet werden kann (verwenden Sie FFT, um die Diagonalmatrizen zu diagonalisieren und zu addieren und IFFT anzuwenden). $\sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$

Angenommen, ist eine beliebige diagonale Matrix (der Einfachheit halber sei die te Wurzel der Einheit und betrachte die diagonalen Elemente als alle unterschiedlichen Potenzen kleiner als von ). $D$ $r$ $n$ $n$ $r$

Was ist die Komplexität von ? Ich vermute, dass es quadratisch ist, da ich in jedem Term die gleiche Diagonalmatrix ( Terme) einbinde. $\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$ $O(n)$

Betrachten Sie eine zirkulierende Matrix der Größe mit einer ersten Reihe aus unterschiedlichen Potenzen von weniger als von . Sei und für Diagonalmatrizen mit vollem Rang. $R$ $n \times n$ $n$ $r$ $X_{i}$ $Y_{i}$ $i=1\rightarrow n$

Was ist die Komplexität von ? Wieder vermute ich, dass dies quadratisch ist. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

Die in Bezug auf definierten Matrizen und sind künstlich. Ich suche für den Fall der allgemeinen Diagonale und allgemeinen Voll Rang zirkulante . $D$ $R$ $r$ $D$ $R$

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— T ....
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$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$ $X_i$ $Y_i$ $A$ $X_i$ $i$ $B$ $Y_i$ $i$ $AB$ $R$ . Wenn alle Einträge vonungleich Null sind (auch wenn es nicht der volle Rang sein sollte), kannausrekonstruiert werden. Daher ist die rechnerische Komplexität dieses Problems identisch mit der rechnerischen Komplexität der Matrixmultiplikation. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$ $R$ $AB$ $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

Für den Fall , wobei und zirkulierende Matrizen sind, müssen wir zuerst FFT auf , und anwenden , um zum Fall . Dazu benötigen wir FFTs der Größe wodurch die Komplexität um erhöht wird. $\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$ $A_i$ $B_i$ $A_i$ $B_i$ $D$ $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$ $2n+1$ $n$ $n^2\log n$
$D$ $D$ $r^i$ $r$ $n$ $D$ $D$

— Thomas Klimpel
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