Unannäherbarkeit der eingestellten Abdeckung: Kann ich m = poly (n) annehmen?

Ich versuche zu zeigen, dass ein bestimmtes Problem durch eine Reduzierung der Deckungssumme nicht zu erreichen ist. Meine Reduktion transformiert eine Instanz mit einer Grundmenge der Größe und Mengen in eine Instanz meines Problems, in der ein bestimmter Parameter Größe . Ich kann dann zeigen, dass eine Instanz von Set Cover, bei der die Covergröße s ist, einer Instanz meines Problems entspricht, bei der die Größe der optimalen Lösung (oder so ähnlich) beträgt , und umgekehrt. Ich möchte Raz-Safra aufrufen, um zu dem Schluss zu kommen, dass mein Problem für eine Konstante bis zu einem Faktor von annähernd ist . Dies würde gut funktionieren, wenn ich annehmen könnte, dass $n$ $m$ $r$ $O(n+m)$ $2s$ $c \log{r}$ $c$ $m$ ist durch ein festes Polynom von . Weiß jemand, ob es koscher ist, dies anzunehmen? Dies gilt sicherlich für die Instanzfamilie, die im Standard-NP-Härtenachweis für die Set-Abdeckung verwendet wird, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies für die von Raz und Safra verwendeten PCP-Reduzierungen weiterhin der Fall ist. $n$

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Edith Elkind
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Ja, die Anzahl der Mengen m in einer Mengendeckungsinstanz ist in der Anzahl der Elemente polynomisch.

Übrigens - die neuesten Härteergebnisse für Set-Cover sind:

Mit Noga Alon und Muli Safra haben wir gezeigt, wie man mit dem PCP Raz-Safra / Arora-Sudan eine bessere Konstante im Härtefaktor erhält . $c$ $c\log n$

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feige zeigte , wie die optimale Härtefaktor erhalten , unter der Annahme , . $(1-\epsilon)\ln n$ $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
Ich habe kürzlich einen Hinweis veröffentlicht, wie Feiges Reduktion an ein NP-Härteergebnis angepasst werden kann (dh ein Ergebnis, das auf basiert ), wobei eine plausible Vermutung über PCPs angenommen wird (eine Vermutung, die ich "The Projection Games Conjecture" nenne - eine Spezialisierung der "Sliding Scale Conjecture" von 1993 zu Projektionsspielen). $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (Ich fand später heraus, dass die Reduzierung einen optimalen Kompromiss zwischen und der Reduzierung der Reduzierung ergibt ). $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
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Was ist die schwächste Trennungsannahme, die immer noch eine

Härte ergibt ?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat

Dana, danke für deine Antwort! Eine Folgefrage, wenn Sie nichts dagegen haben: Ist dies eine "dumme" Frage, dh gibt es irgendwelche Überlegungen auf hoher Ebene, die m = poly (n) implizieren, oder ist es der Fall, dass man das tatsächlich wissen muss Raz-Safra Härtenachweis zur Beantwortung meiner Frage?

— Edith Elkind

@ Suresh: Ich nehme an du meinst

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

@lostinjungle: Wenn m in n nicht polynomisch gewesen wäre, hätten Sie die Reduktion nicht als "Poly-Time-Reduktion" betrachten können. Der besondere Grund, warum ein Raz-Safra / Arora-Sudan-PCP m = poly (n) ergibt, besteht darin, dass es eine Menge pro PCP-Variable / Einschränkung + und Zuordnung zu ihnen sowie die Anzahl der Variablen und Einschränkungen sowie die gibt Die Größe des Alphabets ist polynomisch und die Anzahl der Abfragen ist konstant.

— Dana Moshkovitz

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$