Ein Quadrat mit Einträgen, deren Nachbarschaften sich nie wiederholen

Angenommen, wir haben ein Quadrat und ein Alphabet . Wir setzen an jeder Stelle des Quadrats ein Element von . Ein Element kann an mehreren Stellen angezeigt werden. Die Einschränkung besteht darin, dass ein Paar von Nachbarn (entweder Ost-West voneinander oder Nord-Süd voneinander) in dieser Konfiguration nur einmal auftreten kann.Γ Γ a , $n \times n$$\Gamma$$\Gamma$$a,b$

Beispiel eines verbotenen Quadrats:

abc
def
gde

Da "de" sowohl in der zweiten als auch in der dritten Zeile erscheint, sind die Einträge des Quadrats nicht akzeptabel. Das gleiche Problem würde auftreten, wenn beispielsweise a über d irgendwo außer in der oberen linken Ecke erscheint.

Was ist angesichts von , der Breite des Quadrats als Parameter, eine Untergrenze für die Größe des Alphabets ?$n$$\Gamma$

Ich würde einen direkten Beweis lieben (Vorschläge), aber wurde auch diese Art von Quadratfüllungsproblem untersucht? Ich kann es weder mit einem lateinischen Quadrat noch mit einem Blockdesign verbinden. Wird diese Abbildung auf ein bereits benanntes kombinatorisches Objekt abgebildet?

(Hinweis: Dies bezieht sich auf eine meiner früheren Fragen zur Vermeidung von Teilwörtern, aber diese Frage erforderte sozusagen nur die Vermeidung von Ost-West, während ich hier auch Nord-Süd-Wiederholungen vermeiden muss.)

Eine erweiterte Version meines Kommentars:

Sei eine Primzahl. Dann können wir ein n × n- Quadrat aus der Multiplikationstabelle der ganzen Zahlen modulo p konstruieren . Wenn zum Beispiel p = 5 ist , haben wir$p = n+1$$n \times n$$p$$p = 5$

1234
2413
3142
4321

Jetzt kommt jedes Paar mit a ≠ b genau einmal vor. In ähnlicher Weise kommt jedes Paar a- über- b mit a ≠ b genau einmal vor.$ab$$a \ne b$$a$$b$$a \ne b$

Daher ist dies eine gültige Konstruktion; Alphabetgröße und ein n × n Quadrat.$n$$n \times n$

Darüber hinaus ist es optimal. In einem Quadrat gibt es n ( n - 1 ) horizontale Paare, und jedes von ihnen muss unterschiedlich sein. Wenn wir ein Alphabet der Größe n - 1 hätten , könnten wir nur ( n - 1 ) 2 < n ( n - 1 ) verschiedene horizontale Paare konstruieren .$n \times n$$n(n-1)$$n-1$$(n-1)^2 < n(n-1)$

EDITIERT ZUM HINZUFÜGEN : Gilberts Artikel hat historische Bedeutung und löst das Problem, das ich in meiner Frage gestellt habe, vollständig. Weitere Informationen finden Sie in meinem Blogeintrag .

URSPRÜNGLICHE ANTWORT

Es stellt sich heraus, dass das Papier, das ich 1965 gefunden habe, Gilberts lateinische Quadrate, die keine wiederholten Digramme enthalten , sehr hilfreich ist.

Unter Verwendung von Permutationen mit deutlichen Unterschieden konstruiert er lateinische Quadrate der Größe für jedes gerade n , so dass sich kein benachbartes Paar jemals im Quadrat wiederholt, weder in Zeilen noch in Spalten. Also | Γ | ≤ n + 1 in meiner Frage, weil entweder der Eingabeparameter gerade ist oder ich einfach einen hinzufügen kann, das lateinische Quadrat der Größe n + 1 erstellen und dann eine Zeile und eine Spalte abhacken.$n$$n$$|\Gamma| \leq n+1$$n+1$

(Eine Permutation mit unterschiedlichen Unterschieden ist eine Permutation, bei der alle Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Elementen unterschiedlich sind. So ist beispielsweise (1 3 2) bei drei Elementen eine Permutation mit unterschiedlichen Unterschieden, da , aber (1 2 3) ist nicht, da 2 - 1 = 3 - 2. )$3-1 \neq 2-3$$2-1 = 3-2$

Er verallgemeinert dies später auf eine Weise, die sich auf Jukkas Antwort bezieht. Angenommen , wir wollen nicht nur einzigartige Auftritte von Paaren , aber von einem ◊ k b , wo ◊ ist eine „do not care“ Symbol, und k im Bereich von 0 bis n - 2 . Das heißt, für ein gegebenes k würde höchstens ein Vorkommen von a ◊ k b in den Zeilen und höchstens eines in den Spalten des Quadrats auftreten. (Dies ist übrigens eine Eigenschaft, die mich sehr interessiert.) Nach einem anderen Satz von Gilbert ist es möglich, ein lateinisches Quadrat mit einer solchen Eigenschaft zu bauen, wenn n + $ab$$a \lozenge^k b$$\lozenge$$k$$n-2$$k$$a \lozenge^k b$ wobei p Primzahl ist.$n+1=p$$p$

$n$$n$$x \geq 396738$$[x,x+ x/25 \ln^2 x]$$n$$|\Gamma| \leq n + n/25\ln^2 n$