Einzigartige SAT vs genau

Unique SAT ist das bekannte Problem: Stimmt es, wenn eine CNF-Formel ist, dass genau ein Modell hat? $F$ $F$

Ich interessiere mich für das Problem «Genau SAT»: Stimmt es, wenn eine CNF-Formel und eine ganze Zahl , dass genau Modelle hat? $m$ $F$ $m>1$ $F$ $m$

Beide Probleme sehen ähnlich aus. Meine Fragen sind also:

1- Ist die Polyzeit «Exactly -SAT» (many-one oder Turing) auf Unique SAT reduzierbar? $m$

2- Kennen Sie einen Hinweis zu diesem Thema?

Danke für deine Antworten.

Nachtrag , erste Artikel zur Komplexität von Exactly SAT: $m$

1- Janos Simon, Über den Unterschied zwischen einem und vielen, In Proceedings of the Fourth Colloquium on Automata, Languages and Programming, 480-491, 1977.

2 - Klaus W. Wagner, Die Komplexität kombinatorischer Probleme mit prägnanter Eingabedarstellung, Acta Informatica, 23, 325-356, 1986.

In beiden Artikeln wird gezeigt, dass genau SAT ( ) vollständig ist (unter Vielfachreduktionen), wobei die Klasse aus der Zählhierarchie (CH) der Komplexitätsklassen stammt. Informell enthält alle Probleme, die als Entscheidung ausgedrückt werden können, ob eine gegebene Instanz mindestens viele Polynomgrößenbeweise aufweist (die Klasse stimmt bekanntermaßen mit der Klasse überein ). Die Klasse ist eine Variante von , bei der "genau " "mindestens " ersetzt. $m$ $m \geq 1$ $C=$ $C$ $C$ $m$ $C$ $PP$ $C=$ $C$ $m$ $m$

— Xavier Labouze
quelle

Es ist möglich, eine Lösung zu finden, eine Klausel hinzuzufügen und zu wiederholen, bis die Formel unbefriedigend wird.

— Kaveh

1. Die Maschine gibt die Anzahl der Lösungen an oder gibt an, dass mehr als

Lösungen vorhanden sind. 2. Sie können die Negation der Konjunktion hinzufügen, die die Lösung beschreibt.

m

$m$

— Kaveh

Wenn Sie den Zusammenhang zwischen PP und der Anzahl der Lösungen nicht kennen, lesen Sie bitte ein Lehrbuch zur Komplexitätstheorie wie Papadimitriou.

— Tsuyoshi Ito

(1) Wenn m polynomisch begrenzt ist, ist Ihr Problem polynomisch und mehrfach auf Unique SAT reduzierbar, indem eine Liste von m Lösungen, sortiert in der lexikographischen Reihenfolge, als ein einziges Zertifikat behandelt wird. (2) Bitte nehmen Sie meine Antwort nicht als Beweis dafür, dass Sie Ihre Frage an der richtigen Stelle gestellt haben. Ich denke, dass diese spezielle Frage an der Grenze zwischen On-Topic und Off-Topic liegt. Sie sollten sich wirklich überlegen, Ihre zukünftigen Fragen woanders zu stellen.

— Tsuyoshi Ito

Obwohl Sie angeben, dass m polynomiell begrenzt ist, müssen einige der Aussagen in der Frage m willkürlich sein und gelten nicht mehr, wenn Sie m auf eine polynomielle Begrenzung beschränken. Sie müssen verstehen, wovon Sie sprechen, bevor Sie eine zusammenhängende Frage stellen können. Aus diesem Grund möchte ich hier keine Antwort auf diese Frage veröffentlichen, da hier Fragen auf Forschungsebene erwartet werden.

— Tsuyoshi Ito

Für allgemeines ist genau-m-sat strikt härter als u-sat (reduziert sich also nicht darauf), es sei denn, der PH-Wert bricht zusammen. Der Grund ist, dass PP unter Verwendung eines existenziellen Quantifizierers über genau-m-SAT-Abfragen erhalten werden kann (existiert m> (die Hälfte der Zuordnungen), so dass genau-m-SAT), wenn also genau-m-sat in k 'ist. th level of PH, dann ist PP in der (k + 1) 'st Ebene, und dann kollabiert die Hierarchie (da P ^ PP PH enthält). Aber u-sat befindet sich eindeutig in der zweiten PH-Ebene (tatsächlich in einer Unterklasse namens DP). $m$

Andererseits ist, wie @Tsuyoshi oben erwähnt hat, wenn ein Polynom ist, genau-m-sat für u-sat um ein Vielfaches übertragbar. $m$

— Noam
quelle

Vielen Dank für Ihre Antwort. 1) Wenn

klein genug ist (dh in

polynomial begrenzt ist , ist die Größe der Formel), dann ist genau

SAT auf US reduzierbar. Außerdem, wenn

m

$m$

n

$n$

m

$m$

als Teil der Eingabe groß genug ist (dh

), dann ist genau

SAT in P. Warum wäre es eine solch drastische Änderung für

dazwischen? 2) Was haltet ihr von dem Update Post? (Warum ist es nicht richtig?)

m

$m$

m = 2^{O (n)}

$m= 2^{O(n)}$

m

$m$

m

$m$

— Xavier Labouze

Große m setzen das Problem immer noch nicht in P ein. Der Aktualisierungsbeitrag ist falsch, da die Aussage, dass genau-k-sat C = P-complete ist, wahr ist, wenn k Teil der Eingabe ist, und somit Ihre Reduktion auf k / 2 -sat macht keinen Sinn.

— Noam

ist Teil der Eingabe. Lassen Sie uns

neue Variableneinführen,

. Lassen

m

$m$

m

$m$

y_{1}, y_{2} \dots y_{m}

$y_1,y_2 \cdots y_m$

hat genau die gleiche Anzahl von Modellen wie

, und

ist in der Größe von

polynomiell gebunden. Warum nicht zu dem Schluss kommen, dass die Reduktion auf US (über

) gilt?

F^{'} = F \land y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{m}

$F'=F\land y_1 \land y_2 \land \cdots \land y_m$

F^{'}

$F'$

F

$F$

m

$m$

F^{'}

$F'$

F^{'}

$F'$

— Xavier Labouze

ist exponentiell in der Größe von

(wenn

exponentiell in

), daher ist die Reduktion im Allgemeinen nicht polyzeitlich.

F^{'}

$F'$

F

$F$

m

$m$

| F |

$|F|$

— Opt