Eine Variante von Critical SAT in DP

Eine Sprache gehört zur Klasse wenn es zwei Sprachen und so dass $L$ $DP$ $L1 \in NP$ $L2 \in coNP$ $L = L1 \cap L2$

Ein kanonisches vollständiges Problem ist SAT-UNSAT: Ist es bei zwei 3-CNF-Ausdrücken, und , wahr, dass erfüllbar ist und nicht? $DP$ $F$ $G$ $F$ $G$

Es ist auch bekannt, dass das kritische SAT-Problem vollständig ist: Ist es bei einem 3-CNF-Ausdruck wahr, dass erfüllbar ist, aber das Löschen einer Klausel macht es erfüllbar? $DP$ $F$ $F$

Ich betrachte die folgende Variante des kritischen SAT-Problems: Ist es bei einem 3-CNF-Ausdruck wahr, dass erfüllt werden kann, aber das Hinzufügen einer 3-Klausel (von aber unter Verwendung der gleichen Variablen wie ) macht es unbefriedigend? Aber es gelingt mir nicht, eine Reduzierung von SAT-UNSAT zu finden oder sogar zu beweisen, dass es oder schwer ist. $F$ $F$ $F$ $F$ $NP$ $coNP$

Meine Frage: Ist diese Variante DP-komplett?

Danke für deine Antworten.

— Xavier Labouze
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Ich war mir DP nicht bewusst: interessante Klasse, besonders wenn CRITICAL-SAT dafür vollständig ist.

— Suresh Venkat

Wenn es zwei zufriedenstellende Zuordnungen , ist nicht maximal. ( Nehmen wir an, dass sie sich in der Variablen , dann wird nicht durch die Formel impliziert und das Hinzufügen oder eine Klausel, die sie enthält, ändert die Erfüllbarkeit nicht.) Wenn wir eine Klausel finden, die nicht durch die Formel in der Polynomzeit impliziert wird, können wir sie hinzufügen Negation der Formel und einfache Verwendung der Einheitsklauselregel. Schließlich werden wir den Wert aller Variablen für eine zufriedenstellende Zuordnung finden. Dann müssen wir nur noch prüfen, ob die Formel der kanonischen Formel für diese Zuordnung entspricht.

τ \neq τ^{'} ⊨ φ

$\tau\neq\tau' \vDash \varphi$

φ

$\varphi$

p

$p$

p

$p$

— Kaveh

@ Kaveh: Ich habe deine verfeinerte Frage falsch verstanden. In Ihrer Version der Frage, „es gibt keine Klausel , die durch die Formel nicht außer Acht bleiben und kann es hinzugefügt werden , ohne sie unerfüllbar zu machen“ ist gleichbedeutend mit der Bedingung , dass es genau das ist Zuordnung erfüllt, und es ist ein Standard - US - vollständiges (daher coNP-hartes) Problem.

— Tsuyoshi Ito

Xavier: Sie haben insofern Recht, als die Sprache in @ Kavehs Version eine Teilmenge der Sprache in Ihrer Version ist. Dies bedeutet jedoch keine Reduzierbarkeit zwischen den beiden Problemen (in beide Richtungen). Denken Sie daran, dass bei einer Reduzierung Ja-Instanzen Ja-Instanzen und Nein-Instanzen Nein-Instanzen zugeordnet werden müssen.

— Tsuyoshi Ito

Entschuldigung, ich habe in die entgegengesetzte Richtung geschrieben. Die Sprache in Ihrer Version ist eine Teilmenge der Sprache in Kavehs Version.

— Tsuyoshi Ito

Antworten:

[Ich habe es zu einer richtigen Antwort gemacht, b / c jemand hat es -1 gegeben]

Wenn eine Klausel hinzugefügt werden darf, ist die Sprache leer - zu jeder erfüllbaren Formel können Sie eine 3-Klausel hinzufügen , die aus Variablen besteht, die nicht in : sind befriedigend sein. $F$ $c$ $F$ $F \cup \{ c \}$

Wenn die hinzugefügten Klauseln Variablen von , ist die Sprache in P. $F$

Die Begründung lautet wie folgt:

Nehmen Sie ein beliebiges , dh und für eine beliebige 3-Klausel für Variablen von , . Sagen Sie , wobei ein Literal ist. Da UNSAT ist, alle Modelle von muss (für ) - denn wenn einige Modelle haben zB , dann würde es genügen und so . Nehmen wir nun an, dass es eine andere Klausel gibt, die genau wie $F \in L$ $F \in SAT$ $c$ $F$ $F \cup \{c\} \in UNSAT$ $c = l_1 \lor l_2 \lor l_3 \notin F$ $l_i$ $F \cup \{ c \}$ $F$ $l_i=0$ $i=1,2,3$ $l_1=1$ $c$ $F \cup \{c\}$ $c'$ $c$ , aber mit einem oder mehreren umgedrehten Literalen und so, dass , sagen Sie . Dann mit dem gleichen Argument alle Modelle von muss . Die notwendige Bedingung für ist also, dass es für jede Klausel genau 6 andere Klauseln in , die die drei Variablen von - nennen wir diese 7-Klausel-Teilmengen von Blöcken . Beachten Sie, dass jeder Block eine eindeutige zufriedenstellende Zuordnung zu seinen Variablen impliziert. Wenn diese notwendige Bedingung erfüllt ist, wird $c' \notin F$ $c' = \neg l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $F$ $l_1 = 1$ $F \in L$ $c \in F$ $F$ $c$ $F$ $F$ ist entweder eindeutig erfüllbar oder unbefriedigend. Die beiden Fälle können unterschieden werden, indem geprüft wird, ob die durch die Blöcke von implizierten Zuordnungen aufeinander treffen, was eindeutig in linearer Zeit erfolgen kann. $F$

— Anton Belov
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Ihre Beobachtung lautet im Grunde: Um die Antwort Ja zu haben, muss F genau sieben der acht Klauseln für eine Auswahl von drei verschiedenen Variablen enthalten. Daher ist das Auffinden der eindeutigen Zuordnung (oder das Erkennen von Inkonsistenzen) leicht in Polynomzeit möglich.

— Tsuyoshi Ito

@ Xavier: Die beiden Probleme mögen ähnlich aussehen , aber Antons Beobachtung zeigt, dass sie einfach sehr unterschiedlich sind. Dies ist sehr häufig bei der Komplexität von Berechnungen. Typische Beispiele sind der Vergleich zwischen 2SAT und 3SAT sowie zwischen der Eulerschen Schaltung und der Hamiltonschen Schaltung.

— Tsuyoshi Ito

@ Xavier - Tayfuns Antwort ist falsch . Er zeigt, dass das Problem in DP liegt - es ist in Ordnung, jedes Problem in P ist automatisch in DP. Um zu zeigen, dass das Problem DP-vollständig ist, muss er eine Reduktion auf ein anderes DP-vollständiges Problem zeigen (z. B. die erste Variante von Critical SAT). Ich habe die Bearbeitung an seine Antwort gesendet, aber sie steht in der Warteschlange für "Peer Review".

— Anton Belov

@Anton: Das drastische Bearbeiten von Antworten anderer Benutzer wird normalerweise nicht empfohlen. Wenn Sie der Meinung sind, dass die Antwort von Tayfun grundsätzlich falsch ist, sollten Sie nicht versuchen, sie durch Bearbeiten zu beheben.

— Tsuyoshi Ito

Aus dem SAT-UNSAT-Problem geht sehr klar hervor, dass Sie für eine Formel die Erfüllbarkeit und für die andere die Unzufriedenheit überprüfen ... Im ursprünglichen kritischen Sat-Problem wird nicht davon ausgegangen, dass die angegebene boolesche Formel nicht zufriedenstellend ist. Sie müssen es überprüfen. Wie bei der Xaviers-Version müssen Sie überprüfen, ob die angegebene Boolesche Formel erfüllt werden kann.

— Tayfun Pay

-1

Darf ich dank Ihrer Kommentare eine Antwort auf meine eigene Frage vorschlagen: Die Variante von Critical SAT ist in P.

Nennen wir "Problem 1" die Variante von Critical SAT: Ist es bei einem 3-CNF-Ausdruck wahr, dass erfüllbar ist, aber das Hinzufügen einer Klausel aus macht es unbefriedigend? $F$ $F$ $F$

Und "Problem 2": Stimmt es bei einem 3-CNF-Ausdruck , dass alle darin enthaltenen Klauseln enthält und ein eindeutiges Modell hat? $F$ $F$

Bei einer 3-CNF Formel . $F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$

$F$ $\binom{n}{3}$ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ $n$

— Xavier Labouze
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Sie haben das ursprüngliche Problem nach Ihren Wünschen umformuliert.

— Tayfun Pay

Bei der 3-SAT-Version bin ich mir nicht sicher. Wenn eine Boolesche Formel in CNF mit M Klauseln und N Variablen gegeben ist, WENN M = (3 ^ N) - (2 ^ N), dann ist die gegebene Boolesche Formel entweder UNZUFRIEDEN oder hat nur EINE Lösung. Trotzdem ist es immer noch NP, die Zufriedenheit in diesem Fall zu überprüfen. Es gibt keine Möglichkeit, Ihre Version ist in P.

— Tayfun Pay

@ Xavier: Diese Antwort scheint richtig zu sein, aber ich denke, dass es das gleiche ist, was Anton in seiner Antwort tut.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi, Sie haben Recht, nur Problem 2 einzuführen, dessen erster Teil (Testen, ob eine Formel alle darin enthaltenen Klauseln enthält) mich interessiert - haben Sie übrigens eine Vorstellung von der Komplexität dieses ersten Teils?

— Xavier Labouze