Dichte der P-vollständigen Sprachen

Angenommen, ist eine boolesche Sprache mit endlichen Zeichenfolgen über . Sei die Anzahl der Strings in mit der Länge . Für eine Funktion von den positiven ganzen Zahlen zu den positiven reellen Zahlen hat die obere Dichte wenn für alle ausreichend großen . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Haben P-vollständige Boolesche Sprachen eine höhere Dichte ? $O(1/n)$

Motivation

PARITY hat obere Dichte . JA (die Sprache aller endlichen binären Zeichenfolgen) hat die obere Dichte 1. Jede endliche Sprache hat die obere Dichte 0. $1/2$
Eine spärliche Sprache hat die Eigenschaft, dass es ein Polynom so dass für alle . Wenn eine spärliche Sprache ist, dann ist für ein Polynom mit einem Grad eins größer als das von , so dass die obere Dichte von Null ist. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai und D. Sivakumar zeigten, dass eine P-vollständige Sprache nur dann spärlich sein kann, wenn P = L (= LOGSPACE). Da P = co-P ist, kann auch jede Sprache, deren Komplement spärlich ist, nicht P-vollständig sein, es sei denn, P = L.
Durch eine einfache Ungleichung (siehe z. B. Korollar 2 von Rosser und Schönfeld 1962 ) hat PRIMES eine höhere Dichte . Frage Sind die Probleme PRIMES, FACTORING als P-hart bekannt? diskutiert, ob PRIMES P-hart ist (dies scheint derzeit offen zu sein). $(\log_2 e)/n$
In gewissem Sinne enthalten die vollständigen (oder universellen) Sprachen für eine Komplexitätsklasse die gesamte Struktur der Klasse. Meine vorläufige Hypothese, die auf einer wilden Extrapolation von Cai und Sivakumars Ergebnis basiert, wäre also, dass solche Sprachen nicht zu spärlich sein können. Die übliche Polynombindung, die spärliche Sprachen definiert, scheint zu restriktiv zu sein, daher frage ich nach einer Grenze, die etwas weniger restriktiv ist.

Möglicherweise ist auch die Arbeit von Fortnow, Hemaspaandra und anderen über Lowness verwandt.

$k$

Danksagung

Siehe auch verwandte Frage Bedingte Dichte von Primzahlen . Vielen Dank an @Tsuyoshi Ito und @Kaveh für hilfreiche Kommentare zu einer früheren Version dieser Frage, die leider schlecht gestellt war.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
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2^{n} / n

$2^n/n$

$1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
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m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

Ich denke schon, du brauchst nur m = log log n. Im Allgemeinen können Sie für m = f (n) jedes f auswählen, das sich im LOG-Raum befindet (mit n in unär). (oder NC, wenn Sie diese Ermäßigungen bevorzugen).

— Artem Kaznatcheev