Optimale Vorverarbeitung für bestimmte Arten von Abfragen

Angenommen, wir haben eine Halbgruppe mit Elementen . Unser Ziel ist es , rechen Produkte . $(S,\circ)$ $S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$ $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

In ihrer Arbeit "Optimale Vorverarbeitung für die Beantwortung von Online-Produktanfragen" beweisen Alon und Schieber, dass wir jede solche Anfrage in höchstens Schritten (wobei die inverse Ackermann-Funktion ist) nur unter Verwendung eines linearen Betrags beantworten können der Vorverarbeitung. $O(\alpha(n))$ $\alpha$

Wenn es gewünscht wird, dass jede Abfrage kann beantwortet werden , Schritte, kann man immer noch diese lineare Vorverarbeitung mit nur tun? $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$ $O(\log(j-i))$

(Diese Frage wird von inspiriert dieser letzten Frage von Brendan McKay bei Mathoverflow.)

cc.complexity-theory graph-theory ds.data-structures

— Gjergji Zaimi
quelle

Können Sie der MO-Frage einen Link hinzufügen?

— Suresh Venkat

Gibt es einen Grund dafür, dass es sich eher um eine Halbgruppe als um eine Gruppe handelt?

— Huck Bennett

@Huck: Wenn es sich um eine Gruppe handelt, gibt Noams Konstruktion im obigen Link einen solchen Algorithmus an.

— Gjergji Zaimi

Konstruieren Sie einen geordneten ausgeglichenen Binärbaum mit in den Blättern (in der Reihenfolge). In jedem internen Knoten das Produkt der Blätter des Teilbaums gespeichert, der bei verwurzelt ist . Diese Vorverarbeitung läuft offensichtlich in O Zeit und Raum ab. $s_1,\dots,s_n$ $v$ $v$ $(n)$

Um nun ein Produkt zu berechnen (wobei ), gehen Sie den Baum von zum am wenigsten verbreiteten Vorfahren (LCA) von $s_i\circ\ldots\circ s_j$ $i<j$ $i$ $i$ $j$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ $j$ $s_i$ $s_j$

— Ari
quelle